Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

Ver Teoria
Exercício 125123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280281282283284285286287288289290291292293294295296297298299300301302303304305306307308309310311312313314315316317318319320321322323324325326327328329330331332333334335336337338339340341342343344345346347348349350351352353354355356357358359360361362363364365366367368369370371372373374375376377378379380381382383384385386387388389390391392393394395396397398399400401402403404405406407408409410411412413414415416417418419420421422423424425426427428429430431432433434435436437438439440441442443444445446447448449450451452453454455456457458459460461462463464465466467468469470471472473474475476477478479480481482483484485486487488489490491492493494495496497498499500501502503504505506507508509510511512513514515516517518519520521522523524525526527528529530531532533534535536537538539540541542543544545546547548549550551552553554555556557558559560561562563564565566567568569570571572573574575576577578579580581582583584585586587588589590591592593594595596597598599600601602603604605

Enunciado

Resolva as integrais seguintes:

c) Inspirada em prova do semestre passado

∫ ln ⁡ x x 2   d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente resolver a integral indefinida na forma:

∫ ln ⁡ x x 2   d x

Olhando assim parece complicado, né? É por isso que a gente vai precisar usar a integração por partes para nos ajudar. Lembra dela? A fórmula é essa aqui:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Então, a gente precisa escolher uma função fácil de derivar pra ser nosso u e uma função fácil de integrar pra ser nosso d v , em seguida, substituir e calcular nossa integral.

Vamos lá!

Passo 2

A nossa integral pode ser escrita assim:

∫ ln ⁡ x ∙ 1 x 2   d x

Como a gente precisa de uma função fácil de derivar, vamos escolher:

u = ln ⁡ x

Porque derivando, nós temos:

d u = 1 x d x

E aí sobra o 1 x 2 pra ser nosso d v :

d v = 1 x 2

Integrando d v nós obtemos v :

v = ∫ d v = ∫ 1 x 2 d x

Integrando essa função lembrando da regrinha da potência ( ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 ), temos:

v = ∫ x - 2 d x = x - 2 + 1 - 2 + 1

v = - 1 x

Passo 3

Beleza, agora temos tudo que precisamos pra substituir na fórmula da integral por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

= ln ⁡ x ∙ - 1 x - ∫ - 1 x 1 x d x

Multiplicando os termos:

- ln ⁡ x x + ∫ 1 x 2 d x

Integrando 1 x 2 = x - 2 , temos:

- ln ⁡ x x + x - 2 + 1 - 2 + 1 + C

- ln ⁡ x x - 1 x + C

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- ln ⁡ x x - 1 x + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x