Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Resolva as seguintes equações diferenciais integrando diretamente

a )   y ' = ln ⁡ x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa equação diferencial

y ' = ln ⁡ x

E pediu para resolver! Mas como?

O enunciado diz para integrarmos diretamente! Então a ideia é substituir

y ' = d y d x

E transportar aquele d x que está dividindo, para o outro lado, multiplicando!

Beleza?

E depois? Depois vamos integrar dos dois lados! Já que de um lado vai ter função só de x e do outro só de y

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar fazendo aquela troca

y ' = ln ⁡ x

d y d x = ln ⁡ x

d y = ln ⁡ x   d x

Beleza?

Agora é só integrar!

∫ d y = ∫ ln ⁡ x d x

Do lado direito vamos aplicar técnica por partes usando u = ln ⁡ x . Lembrando que ∫ u d v = u v - ∫ v d u temos

y = x ln ⁡ x - ∫ x   . 1 x d x + C

y = x ln ⁡ x - x + C

Show! E é isso pessoal! Não esqueçam de colocar + C assim que integrar dos dois lados!

Espero ter ajudado!

Resposta

y = x ln ⁡ x - x + C

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x