Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Resolva as seguintes integrais pelo método da Substituição:

(f) ∫ 3 x   1 - 2 x 2 d x ;

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente resolver a integral pelo método da substituição. Pra isso, a gente precisa identificar dentro da integral uma parte que é derivada da outra ou que só se diferencia de sua derivada por constantes.

Além disso, a gente pode tentar substituir o argumento de uma função trigonométrica, a própria função trigonométrica, uma função exponencial e o argumento dela, uma função logarítmica e o argumento dela, entre outras. Identificando o caso, vamos chamar essa parte da função de u .

Depois nós encontramos o diferencial d u , derivando u e substituir tudo na integral. Daí em diante, basta resolver a integral mais simples que encontramos na substituição e depois voltar pra nossa variável original no resultado.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos olhar nossa integral:

∫ 3 x   1 - 2 x 2 d x

Repare que a derivada da função que tá ali dentro da raiz, tem uma parte no nosso integrando. Isso é bom indício pra escolher o que nós vamos substitituir. Então, vamos chamar:

u = 1 - 2 x 2

E derivando u , vamos encontrar:

d u = - 4 x   d x

x   d x = - 1 4 d u

Sendo assim, substituindo tudo na integral, vamos ter:

∫ 3 x   1 - 2 x 2 d x = ∫ 3 u - 1 4   d u

Colocando as constantes do lado de fora da integral:

- 3 4 ∫ u d u

Como u = u 1 / 2 , a gente consegue resolver pela regra da potência ( ∫ x n = x n + 1 n + 1 + C ):

= - 3 4 u 1 2 + 1 1 2 + 1 + C

= - 3 4 2 3 u 3 2   + C = - 1 2 u 3 2 + C

Como essa é uma integral indefinida, a gente não pode esquecer de somar a constante de integração C no resultado.

Agora vamos voltar pra nossa variável x original. Lembra que definimos u = 1 - 2 x 2 ? Então, o resultado da nossa integral será:

- 1 2 1 - 2 x 2 3 2 + C

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- 1 2 1 - 2 x 2 3 2 + C

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
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Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x