Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

Ver Teoria
Exercício 548123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280281282283284285286287288289290291292293294295296297298299300301302303304305306307308309310311312313314315316317318319320321322323324325326327328329330331332333334335336337338339340341342343344345346347348349350351352353354355356357358359360361362363364365366367368369370371372373374375376377378379380381382383384385386387388389390391392393394395396397398399400401402403404405406407408409410411412413414415416417418419420421422423424425426427428429430431432433434435436437438439440441442443444445446447448449450451452453454455456457458459460461462463464465466467468469470471472473474475476477478479480481482483484485486487488489490491492493494495496497498499500501502503504505506507508509510511512513514515516517518519520521522523524525526527528529530531532533534535536537538539540541542543544545546547549550551552553554555556557558559560561562563564565566567568569570571572573574575576577578579580581582583584585586587588589590591592593594595596597598599600601602603604605

Enunciado

Resolva as seguintes integrais pelo método da Substituição:

a )   ∫ x + 3 x 2 + 6 x 1 3 d x

Passo 1

Faaaala galera, tudo bem com vocês?

Nessa questão o enunciado nos pede para resolver a integral abaixo usando o método da substituição de variáveis:

∫ x + 3 x 2 + 6 x 1 3 d x

Mas, antes da gente meter bronca nessa integral, todo mundo tá lembrado do que se trata o método da substituição de variáveis?

Então, basicamente temos um passo a passo pra aplicar esse método:

1 ) Identificar dentro da integral uma parte que é derivada da outa ou só se diferencia de sua derivada por constantes.

2 ) Mudança de variável: chamar a parte a ser derivada de u e calcular sua derivada d u .

3 ) Substituir as partes em x por suas correspondentes em u .

Nesse ponto verificamos se não sobrou x na integral! Se não sobrou, parabéns! Se sobrou, você errou na substituição, volte atrás!

4 ) Resolva a integral em u normalmente

5 ) Voltar para a variável original do problema

Excelente! Agora que revisamos como aplicar esse método, vamos usar essa receitinha pra resolver a integral do problema!

Vem com a gente 😊

Passo 2

Bom, temos a integral:

�� x + 3 x 2 + 6 x 1 3 d x

A etapa 1 ) é Identificar dentro da integral uma parte que é derivada da outa ou só se diferencia de sua derivada por constantes.

Analisando com atenção o nosso denominador e numerador, vemos que:

d x 2 + 6 x d x = 2 x + 6

= 2 ⋅ ( x + 3 )

E, ( x + 3 ) é uma constante, ou seja, o numerador se diferencia de parte do denominador apenas por uma constante 😊.

Sabendo disso, vamos para a etapa 2 ) , que é realizar a mudança de variável, ou seja, chamar a parte a ser derivada de u e depois calcular d u . Temos:

u = x 2 + 6 x

Logo:

d u = 2 ( x + 3 ) d x

Massa! Excelente.

Vamos agora para a etapa 3 , que é substituir os termos em x na integral pelos seus correspondentes em u .

Então, vimos que:

d u = 2 ⋅ ( x + 3 ) d x

∴ d u 2 = x + 3 d x

Usando isso e também que:

u = ( x 2 + 6 x )

Vamos ter:

∫ x + 3 x 2 + 6 x 1 3 d x = ∫ 1 u 1 3 ⋅ d u 2

= 1 2 ⋅ ∫ d u u 1 3

Perfeito! Essa é a integral que alcançamos com a substituição de variáveis. Ela é bem mais simples 😊

Passo 3

Agora que já temos a nova integral, vamos para a etapa 4 . Aqui precisamos resolver a integral resultante da substituição!

1 2 ⋅ ∫ d u u 1 3

Reescrevendo-a, vamos ter:

1 2 ⋅ ∫ d u u 1 3 = 1 2 ⋅ ∫ u - 1 3 d u

Essa é a integral de um polinômio, para resolvê-la devemos lembrar que:

∫ y n d y = y n + 1 n + 1 + C

Daí, vamos ter:

1 2 ⋅ ∫ u - 1 3 d u = 1 2 ⋅ u 2 3 2 3 + C

= 3 u 2 3 + C

Perfeito! Agora temos a última etapa, a etapa 5 , que é sair de u e voltar para a nossa variável original, x .

Daí, ficamos com:

3 u 2 3 + C = 3 x 2 + 6 x 2 3 + C

Prontinho! Chegamos que:

∫ x + 3 x 2 + 6 x 1 3 d x = 3 x 2 + 6 x 2 3 + C

Valeu pessoal, até a próxima 😉

Resposta

3 x 2 + 6 x 2 3 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x