Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Resolva as seguintes integrais pelo método da Substituição:

b )   ∫ x 1 + x 2 3 d x

Passo 1

E aí gente, tudo tranquilo?

Nessa questão o enunciado nos pede para resolver a integral abaixo usando o método da substituição de variáveis:

∫ x 1 + x 2 3 d x

Mas, antes da gente meter bronca nessa integral, todo mundo tá lembrado do que se trata o método da substituição de variáveis?

Então, basicamente temos um passo a passo pra aplicar esse método:

1 ) Identificar dentro da integral uma parte que é derivada da outa ou só se diferencia de sua derivada por constantes.

2 ) Mudança de variável: chamar a parte a ser derivada de u e calcular sua derivada d u .

3 ) Substituir as partes em x por suas correspondentes em u .

Nesse ponto verificamos se não sobrou x na integral! Se não sobrou, parabéns! Se sobrou, você errou na substituição, volte atrás!

4 ) Resolva a integral em u normalmente

5 ) Voltar para a variável original do problema

Excelente! Agora que revisamos como aplicar esse método, vamos usar essa receitinha pra resolver a integral do problema!

Vem com a gente 😊

Passo 2

Bom, temos a integral:

∫ x 1 + x 2 3 d x

A etapa 1 ) é Identificar dentro da integral uma parte que é derivada da outa ou só se diferencia de sua derivada por constantes.

No caso específico dessa integral, fica um pouco complicado identificar a mudança de variável pensando dessa forma. Mas, vamos pensar no grande problema pra realizar essa dificuldade, beleza?

O grande ponto é que temos um binômio ( 1 + x ) elevado a um expoente fracionário (que não conseguimos abrir o binômio em função dele). Então, nossa mudança de variável visa tirar o expoente fracionário do binômio.

Pra fazer isso, escrevemos que:

u = 1 + x

Sabendo disso, vamos para a etapa 2 ) , que é realizar a mudança de variável, ou seja, chamar a parte a ser derivada de u e depois calcular d u . Temos:

u = 1 + x

∴ x = u - 1

Logo:

d u = 1 ⋅ d x

Massa! Excelente.

Vamos agora para a etapa 3 , que é substituir os termos em x na integral pelos seus correspondentes em u .

Então, vimos que:

d u = 1 ⋅ d x

Usando isso e também que:

u = 1 + x

x = u - 1

Vamos ter:

∫ x 1 + x 2 3 d x = ∫ u - 1 u 2 3 d u

Perfeito! Viu que o binômio agora, ( u - 1 ) , tem expoente 1 ? É sobre isso gente...

Vamos seguir 😉

Passo 3

Agora precisamos resolver a integral:

∫ u - 1 u 2 3 d u

Pra transformá-la em algo mais conhecido, vamos aplicar a distributiva (o famoso “chuveirinho”) no nosso integrando:

u - 1 u 2 3 = u 5 3 - u 2 3

Daí:

∫ u - 1 u 2 3 d u = ∫ u 5 3 d u - ∫ u 2 3 d u

Olha que top! Agora temos duas integrais de polinômios. Para calculá-las, basta fazermos:

∫ y n d y = y n + 1 n + 1 + C 1

Daí, temos:

∫ u 5 3 d u = u 8 3 8 3 + C 2

= 3 u 8 3 8 + C

Muito bom!!

Daí, pra finalizar, pela etapa 5 ) vamos retornar à nossa variável original.

Ficamos com:

3 u 8 3 8 + C = 3 1 + x 8 3 8 + C

Portanto:

∫ x 1 + x 2 3 d x = 3 1 + x 8 3 8 + C

E é isso gente, muito obrigado pela atenção de vocês 😊

Resposta

3 1 + x 8 3 8 + C

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Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x