Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Resolva as seguintes integrais pelo método da Substituição:

d ) ∫ d x 25 - 16 x 2

Passo 1

Fala aí gente, tudo bem?

Nessa questão o enunciado nos pede para resolver a integral abaixo usando o método da substituição de variáveis:

∫ d x 25 - 16 x 2

Mas, antes da gente meter bronca nessa integral, todo mundo tá lembrado do que se trata o método da substituição de variáveis?

Então, basicamente temos um passo a passo pra aplicar esse método:

1 ) Identificar dentro da integral a parte que mais dificulta o seu cálculo e que pode ser sanada por uma substituição de variável.

2 ) Mudança de variável: chamar a parte a ser derivada de u e calcular sua derivada d u .

3 ) Substituir as partes em x por suas correspondentes em u .

Nesse ponto verificamos se não sobrou x na integral! Se não sobrou, parabéns! Se sobrou, você errou na substituição, volte atrás!

4 ) Resolva a integral em u normalmente.

5 ) Voltar para a variável original do problema.

Excelente! Agora que revisamos como aplicar esse método, vamos usar essa receitinha pra resolver a integral do problema!

Vem com a gente 😊

Passo 2

Bom, temos a integral:

∫ d x 25 - 16 x 2

A etapa 1 ) consiste em identificar a substituição que será feita.

Como no denominador temos uma raiz de x 2 , mas no numerador não temos termo em função de x , precisaremos usar a substituição trigonométrica.

Se liga só, da expressão do integrando, vem:

1 25 - 16 x 2 = 1 5 1 - 16 25 x 2

= 1 5 ⋅ 1 1 - 4 x 5 2

Aqui vem o truque matador da substituição vamos dizer que:

4 x 5 = s e n   θ

Assim:

d x = 5 4 cos ⁡ θ d θ

Substituindo esse resultado na nossa integral, ficamos com:

∫ d x 25 - 16 x 2 = ∫ 5 4 cos ⁡ θ d θ 5 ⋅ 1 - sen 2 ⁡ θ

Mas, da trigonometria temos:

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

∴ cos 2 ⁡ θ = 1 - s e n 2 θ

Substituindo:

∫ 5 4 cos ⁡ θ d θ 5 ⋅ 1 - sen 2 ⁡ θ = ∫ cos ⁡ θ   d θ 4 ⋅ c o s θ

= 1 4 ⋅ ∫ d θ

Excelente! Concluímos então que:

∫ d x 25 - 16 x 2 = 1 4 ⋅ ∫ d θ

Muito bom! Assim já concluímos as etapas 1 ) ,   2 ) e 3 ) .

Passo 3

Vamos agora resolver a integral:

1 4 ⋅ ∫ d θ = 1 4 ⋅ θ + C

Por fim, precisamos apenas voltar à nossa variável original, x .

Já que:;

4 x 5 = s e n   θ

∴ θ = a r c s e n 4 x 5

Portanto:

1 4 ⋅ θ + C = 1 4 ⋅ a r c s e n 4 x 5 + C

Prontinhooo!! Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

1 4 ⋅ a r c s e n 4 x 5 + C

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