Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Resolva as seguintes integrais pelo método da Substituição:

e )   ∫ d x 4 x 2 + 9

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem por aí?

Nessa questão o enunciado nos pede para resolver a integral abaixo usando o método da substituição de variáveis:

∫ d x 4 x 2 + 9

Mas, antes da gente meter bronca nessa integral, todo mundo tá lembrado do que se trata o método da substituição de variáveis?

Então, basicamente temos um passo a passo pra aplicar esse método:

1 ) Identificar dentro da integral a parte que mais dificulta o seu cálculo e que pode ser sanada por uma substituição de variável.

2 ) Mudança de variável: chamar a parte a ser derivada de u e calcular sua derivada d u .

3 ) Substituir as partes em x por suas correspondentes em u .

Nesse ponto verificamos se não sobrou x na integral! Se não sobrou, parabéns! Se sobrou, você errou na substituição, volte atrás!

4 ) Resolva a integral em u normalmente.

5 ) Voltar para a variável original do problema.

Excelente! Agora que revisamos como aplicar esse método, vamos usar essa receitinha pra resolver a integral do problema!

Vem com a gente 😊

Passo 2

Bom, temos a integral:

∫ d x 4 x 2 + 9

A etapa 1 ) consiste em identificar a substituição que precisamos fazer. Aqui, o grande problema é que temos um polinômio com x 2 no denominador, mas no numerador temos apenas d x .

Nessa situação é interessante pensarmos em alguma relação trigonométrica que nos auxilie.

Temos:

4 x 2 + 9 = 9 4 x 2 9 + 1

= 9 ⋅ 2 x 3 2 + 1

Será que tem alguma relação que nos ajuda com isso?

Da trigonometria sabemos que:

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Dividindo tudo por cos 2 ⁡ θ ,   ficamos com:

t g 2 θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

Daí, podemos chamar:

t g θ = 2 x 3

Assim, derivando em ambos os lados:

sec 2 ⁡ θ d θ = 2 3 d x

∴ d x = 3 sec 2 ⁡ θ 2 d θ

Substituindo esses resultados na nossa integral, temos:

∫ d x 4 x 2 + 9 = ∫ 3 sec 2 ⁡ θ 2 d θ 9 ⋅ t g 2 θ + 1

Melhorando um pouco o caos que ficou na integral, e usando que:

t g 2 θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

Vem que:

1 3 ⋅ 2 ⋅ ∫ sec 2 ⁡ θ d θ sec 2 ⁡ θ

= 1 6 ⋅ ∫ d θ

Perfeito!! Olha como a cara dessa integral melhorou hein 😊

Assim, já executamos as etapas 1 ) , 2 ) e 3 ) .

Passo 3

Agora, vamos seguir a etapa 4 ) e resolver a integral:

1 6 ⋅ ∫ d θ

Temos:

1 6 ⋅ ∫ d θ = 1 6 ⋅ θ + C

Excelente! Agora é só voltarmos à variável original (etapa 5 ) . Como:

t g   θ = 2 3 x

θ = a r c t g   2 x 3

Portanto:

1 6 ⋅ θ + C = 1 6 ⋅ a r c t g   2 x 3 + C

Ou seja:

∫ d x 4 x 2 + 9 = 1 6 ⋅ a r c t g   2 x 3 + C

E é issoooo!!

Obrigado pela atenção pessoal, tamo junto!

Resposta

1 6 ⋅ a r c t g   2 x 3 + C

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Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x