Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Resolva as seguintes integrais pelo método da Substituição:

g )   ∫ x 2 1 - x 6 d x

Passo 1

E aí gente bonita, como vocês estão?

Nessa questão o enunciado nos pede para resolver a integral abaixo usando o método da substituição de variáveis:

∫ x 2 1 - x 6 d x

Mas, antes da gente meter bronca nessa integral, todo mundo tá lembrado do que se trata o método da substituição de variáveis?

Então, basicamente temos um passo a passo pra aplicar esse método:

1 ) Identificar dentro da integral a parte que mais dificulta o seu cálculo e que pode ser sanada por uma substituição de variável.

2 ) Mudança de variável: chamar a parte a ser derivada de u e calcular sua derivada d u .

3 ) Substituir as partes em x por suas correspondentes em u .

Nesse ponto verificamos se não sobrou x na integral! Se não sobrou, parabéns! Se sobrou, você errou na substituição, volte atrás!

4 ) Resolva a integral em u normalmente.

5 ) Voltar para a variável original do problema.

Excelente! Agora que revisamos como aplicar esse método, vamos usar essa receitinha pra resolver a integral do problema!

Vem com a gente 😊

Passo 2

Bom, temos a integral:

∫ x 2 1 - x 6 d x

Essa integral é meio feinha neh?!Pra resolvê-la vamos usar a etapa 1 ) e identificar uma substituição que nos ajude.

Precisamos tirar esse x 6 da jogada, para isso uma ideia interessante é chamar:

u = x 3

Assim, o denominador do integrando fica:

1 - x 6 = 1 - u 2

Esse denominador tem a cara das integrais que são resolvidas usando substituição trigonométrica. Além disso, quando fazemos:

u = x 3

Se derivarmos, teremos:

d u = 3 x 2 d x

∴ d x = 1 3 x 2 d u

Daí, substituindo na integral, temos:

∫ x 2 1 - x 6 d x = ∫ d u 3 1 - u 2

= 1 3 ⋅ ∫ d u 1 - u 2

Excelente! Essa integral ainda parece um pouco complicado de resolver, certo? Então, vamos realizar mais uma substituição pra ela ficar bem tranquilinha...

Da trigonometria, temos:

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

∴ 1 - s e n 2 θ = cos 2 ⁡ θ

Para aproveitar essa relação, vamos chamar:

u = s e n θ

d u = c o s θ d θ

Substituindo na integral, vem:

1 3 ⋅ ∫ d u 1 - u 2 = 1 3 ⋅ ∫ c o s θ d θ 1 - s e n 2 θ

= 1 3 ⋅ ∫ c o s θ d θ c o s θ

= 1 3 ��� ∫ d θ

Portanto, temos:

∫ x 2 1 - x 6 d x = 1 3 ⋅ ∫ d θ

Olha só, melhorou bastante hein pessoal?

Assim, executamos as etapas 1,2   e 3 .

Passo 3

Agora vamos resolver a integral:

1 3 ⋅ ∫ d θ = 1 3 ⋅ θ + C

Daí, pra finalizar, precisamos apenas retornar à variável original, x .

Temos:

s e n   θ = u

∴ θ = a r c s e n ( u )

Logo:

1 3 ⋅ θ + C   = 1 3 ⋅ a r c s e n u + C

Mas:

u = x 3

Logo:

∫ x 2 1 - x 6 d x = 1 3 ⋅ a r c s e n x 3 + C

Prontinho, gente!!

Obrigado pela atenção de todos 😊

Resposta

1 3 ⋅ a r c s e n x 3 + C

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32. ∫ d t 2 + t 2
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Calcule a integral ∫ sec ⁡ x cos ⁡ 2 x s e nx + sec ⁡ x d x