Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

1 7 . Seja f uma função contínua no intervalo [ 0,1 ] tal que ∫ 0 1 f x   d x = 9 e 3 . Considere

I = ∫ 0 1 3 e x + 3 e x + x 2 f ( x 3 )   d x

O valor de I é

A : e 3 e + 2 e 3

B : e 3 - 3

C : e 3 e - 2 e 3

D : 2 e 3

E : e 3 e + 4 e 3

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa, juntos!

Nós temos uma integral bem feia para resolver, mas primeiro, mas antes de partir para resolver ela, temos que encontrar quem é f ( x ) para depois usarmos f ( x 3 ) , temos o seguinte:

∫ 0 1 f x   d x = 9 e 3

Você concorda comigo que a possibilidade mais simples que temos é a de que f x = 9 e 3 ?

Isso porque sabemos que a integral dessa função constante ficaria assim ó:

∫ 0 1 9 e 3   d x = 9 e 3 x 0 1 = 9 e 3

Opa, podemos realmente dizer que f x = 9 e 3 , já que ela satisfez a integral! Mas sim, provavelmente, existem outras funções f ( x ) que dariam certo, ok? Só que essa é a mais simples que temos.

Então, temos que f x 3 = 9 e 3 . Isso porque f ( x ) é uma função constante, então não importa o ponto que pegamos nela, sempre resultará em 9 e 3 . Beleza? Agora, vamos para integral principal.

Passo 2

Então, substituindo nossa f ( x ) na integral:

∫ 0 1 3 e x + 3 e x + x 2 f x 3   d x

∫ 0 1 3 e x + 3 e x + x 2 9 e 3 x 3   d x

Arrumando esse cara:

= ∫ 0 1 3 e x + 3 e x + 9 e 3 x 5   d x = ∫ 0 1 3 e x + 3 e x   d x + ∫ 0 1 9 e 3 x 2   d x

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente e depois somar os resultados, vamos começar com:

∫ 0 1 3 e x + 3 e x   d x

Usando a propriedade da exponencial, podemos separar esse termo em:

= ∫ 0 1 3 e x e 3 e x   d x

Vamos fazer a seguinte substituição para facilitar nossa vida:

u = e x

d u = e x d x

Os limites de integração ficam da seguinte forma:

x = 1 → u = e

x = 0 → u = 1

Com isso temos que:

∫ 1 e 3 e 3 u   d u = 3 ∫ 1 e e 3 u   d u

Temos que:

3 1 3 e 3 u 1 e = e 3 e - e 3

Passo 3

Agora vamos resolver a outra integral, temos:

∫ 0 1 9 e 3 x 2   d x = 9 e 3 ∫ 0 1 x 2   d x

= 9 e 3 x 3 3 0 1 = 9 e 3 3 = 3 e 3

Passo 4

Agora vamos somar o resultado que temos das duas integrais, temos:

∫ 0 1 3 e x + 3 e x + 9 e 3 x 5   d x = e 3 e - e 3 + 3 e 3

⇒ ∫ 0 1 3 e x + 3 e x + 9 e 3 x 5   d x = e 3 e + 2 e 3

Então nossa alternativa é a letra A .

Resposta

A : e 3 e + 2 e 3

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x