Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

  1. Seja g uma função com derivada contínua no intervalo [ 0 ,   1 ] , tal que g 0 = 1 e g 1 = 3 . Calcule a integral ∫ 0 1 3 x 2 - g ' x d x .

Passo 1

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos conversar um pouco sobre integrais definidas simples. Para a integral indefinida de uma função, temos que achar h ( x ) tal que:

∫ f ( x ) d x = h ( x )

h ' ( x ) = f ( x )

Nesse caso, sabemos que a derivada de um polinômio é:

( x n ) ' = n ( x n - 1 )

Então, para integrarmos fazemos o processo reverso e encontramos a primitiva:

1 n + 1 x n + 1

De forma que, segundo o TFC para integrais definidas:

∫ a b f ( x ) d x = g b - g ( a )

Passo 2

Agora vamos encontrar a primitiva da função dada.

∫ 3 x 2 - g ' x d x

A primeira coisa que devemos fazer aqui é separar em uma soma de integrais, logo

∫ 3 x 2 - g ' x d x = ∫ 3 x 2 d x - ∫ g ' x d x

= 3 ∫ x 2 d x - ∫ g ' x d x

= 3 x 3 3 - g x

= x 3 - g x

Passo 3

Bom, já temos nossa primitiva, agora temos apenas que aplicar o TFC. Assim,

∫ 0 1 3 x 2 - g ' x d x = x 3 - g x x = 0 x = 1

= 1 3 - g 1 - 0 3 - g 0

= 1 - 3 - 0 - 1

= - 1

Por hoje é isso pessoal, até a próxima😁😉

Resposta

∫ 0 1 3 x 2 - g ' x d x = - 1

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