Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Seja f função diferenciável tal que f ( 0 ) = 7

∫ 0 1 f ' ( x 42 - 6 x 6 ) ( 7 x 41 - 6 x 5 ) d x = 18 6

O valor de f ( - 5 ) é:

  1. 30
  2. 25
  3. 26
  4. 28
  5. 27

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1.

Queremos valor de f ( - 5 ) , mas sabemos que

f ( 0 ) = 7

∫ 0 1 f ' ( x 42 - 6 x 6 ) ( 7 x 41 - 6 x 5 ) d x = 18 6

E aí? Como podemos prosseguir? Vamos arrumar a integral ∫ 0 1 f ' ( x 42 - 6 x 6 ) ( 7 x 41 - 6 x 5 ) d x = 18 6 .

Primeiro reescrevemos da seguinte forma

∫ 0 1 f ' ( x 42 - 6 x 6 ) ( 7 x 41 - 6 x 5 ) d x = 18 6 .

passando o 6 multiplicando

⇒ ∫ 0 1 f ' ( x 42 - 6 x 6 ) ( 42 x 41 - 36 x 5 ) d x = 18 .

Agora, vamos fazer uma substituição de variáveis. Fazendo

x 42 - 6 x 6 = u

derivando dos dois lados

⇒ ( 42 x 41 - 36 x 5   ) =   d u

E por fim temos uma mudança no nosso limite de integração. Como

x 42 - 6 x 6 = u

se x = 0 ⇒ u = 0

se x = 1 ⇒ u = - 5

Então podemos concluir que

∫ 0 1 f ' ( x 42 - 6 x 6 ) ( 42 x 41 - 36 x 5 ) d x = ∫ 0 - 5 f ' ( u ) d u

Passo 2

Pelo teorema fundamental do cálculo temos que

∫ 0 - 5 f ' ( u ) d u =   f ( - 5 ) - f ( 0 )

Ora, mas o enunciado nos diz que

f ( 0 ) = 7

e vimos que

∫ 0 1 f ' ( x 42 - 6 x 6 ) ( 42 x 41 - 36 x 5 ) d x = 18 .

Logo,

∫ 0 - 5 f ' ( u ) d u =   f ( - 5 ) - f ( 0 )

e

∫ 0 - 5 f ' ( u ) d u =   18

⇒ f ( - 5 ) - f ( 0 ) = 18

⇒ f ( - 5 ) = 18 + 7

= 25

Ou seja, chegamos a conclusão que

f ( - 5 ) = 25

Valor presente na alternativa b )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b )

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