Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Suponha que a temperatura T ( t ) de um corpo imerso em um meio com temperatura constante e igual a 20 seja tal que T 0 = 80 graus Celsius. Segundo a Lei do Resfriamento de Newton, a taxa de variação T ' ( t ) é proporcional à diferença entre as temperaturas T ( t ) e 20 . Supondo que a constante de proporcionalidade seja igual a - 2 , segue que

T ' t = - 2 T t - 20 ,                     t > 0 .

a ) A partir dos dados apresentados, determine a temperatura T ( t ) .

b ) Determine o instante t 0 em que T t 0 = 40 .

c ) O que acontece com a temperatura T ( t ) após muito tempo?

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

O enunciado nos apresenta a Lei de Resfriamento de Newton, enunciado o que ela quer dizer, e apresentando um formato particular com constante de proporcionalidade - 2 . A alternativa a ) pede que encontremos T ( t ) para isso teremos que realizar uma integração na expressão dada, vamos ver que é possível integrar diretamente fazendo apenas substituições simples. Para a alternativa b ) iremos precisar utilizar o resultado obtido na alternativa a ) , já que ele pede o instante de tempo t 0 em que temos uma temperatura específica. E, por último, na alternativa c ) , temos que avaliar qual o comportamento de T ( t ) após muito tempo, ou seja

lim t → ∞ ⁡ T ( t )

Vamos fazer isso então! Vem comigo!

Passo 2

Primeira coisa, vamos escrever a expressão dada

T ' t = - 2 T t - 20

Se lembrarmos que T ' t = d T t d t , temos

d T t d t = - 2 T t - 20

Se multiplicarmos os dois lados por d t , e passarmos ( T t - 20 ) dividindo, temos que

d T ( t ) T t - 20 = - 2 d t

Por simplicidade vou chamar T t = T , podemos integrar ambos os lados com os limites de integração adequados, para obter

∫ T 0 T d T T - 20 = - 2 ∫ 0 t d t

Você lembra como resolver esta integral? Se não, bora lá!

Passo 3

Primeira coisa, vamos usar a informação do enunciado que diz que T 0 = 80 , e portanto, temos

∫ 80 T d T T - 20 = - 2 ∫ 0 t d t

A integração do lado direito pode ser identificada como

∫ 0 t d t = t

No lado esquerdo precisamos fazer uma mudança de variável do tipo u = T - 20 e d u = d T , de forma que temos

∫ u 80 u T d u u = ln ⁡ ( u ) ​ u 80 u T

Voltando para a variável original, podemos aplicar os limites de integração, temos

ln ⁡ T - 20 ​ 80 T = ln ⁡ ( T - 20 ) - ln ⁡ 80 - 20 = ln ⁡ T - 20 60

Onde na última igualdade utilizei a propriedade do logaritmo ln ⁡ A - ln ⁡ B = l n ⁡ ( A / B ) . Agora só precisamos isolar T , vamos fazer isso!

Passo 4

Utilizando os resultados das integrais acima, temos

ln ⁡ T - 20 60 = - 2 t

Para cortar a função logarítmica precisamos aplicar a função exponencial em ambos os lados, de forma que temos

e ln ⁡ T - 20 60 = e - 2 t → T - 20 60 = e - 2 t

Isolando T , temos então

T t = 20 + 60 e - 2 t

Beleza, essa é a alternativa a ) . Vamos seguir para a próxima!

Passo 5

Queremos agora t 0 tal que T t 0 = 40 , beleza? Vamos utilizar a expressão que acabamos de achar, fazendo T t = 40 e t = t 0 , temos

40 = 20 + 60 e - 2 t 0

Vamos isolar a exponencial, temos que

40 - 20 60 = e - 2 t 0

Simplificando o lado esquerdo, temos

1 3 = e - 2 t 0

Para eliminar a função exponencial aplicamos a função logarítmica e obtemos que

- 2 t 0 = ln ⁡ ( 1 / 3 )

Portanto, temos que

t 0 = - 1 2 ln ⁡ 1 3 ≈ 0,55   u n i d a d e s   d e   t e m p o

Maaaravilha! A alternativa b ) já foi! Vamos para a última!

Passo 6

Agora precisamos analisar o comportamento de T ( t ) quando t → ∞ , ou seja, temos que

lim t → ∞ ⁡ T ( t ) = lim t → ∞ ⁡ 20 + 60 e - 2 t

Podemos separar isso em dois limites

lim t → ∞ ⁡ 20 + 60 e - 2 t = lim t → ∞ ⁡ 20 + 60 lim t → ∞ ⁡ e - 2 t = 20

Pois temos que o limite para t muito grande leva a exponencial à zero! Note que este resultado faz sentido físico, uma vez que a tendência é que qualquer corpo resfrie para a temperatura ambiente após muito tempo! A questão é isso, te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

a ) T t = 20 + 60 e - 2 t

b )   t 0 ≈ 0,55   u n i d a d e s   d e   t e m p o

c ) lim t → ∞ ⁡ T ( t ) = 20

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