Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Um trem de 300 toneladas parte do repouso e seus motores lhe fornecem uma força de 90   m i l Newtons. Considerando o atrito do ar, é possível mostrar que a velocidade, 0 ≤ v ( t ) < 90 , do trem satisfaz a equação ( * )   300 v ' t 90 - v t = 1 .

a) Use a substituição u = v ( t ) e integre   300 v ' t 90 - v t com respeito ao tempo.

b) Integre a equação ( * ) acima e determine v ( t ) em função de uma constante arbitrária de integração.

c) Sabendo que v ( 0 ) = 0 , determine a constante arbitrária do item acima. Em seguida, calcule a velocidade do trem após um longo período de tempo.

Passo 1

Iae, meus queridos! Tudo certinho?

Muito interessante essa questão, vamos utilizar o método de integração por substituição, o famoso u . d u .

Essa questão pode ser um pouco complexa, então é bastante legal aprende-la.

No item a), se u = v t , d u = v ' t , então nossa integral será

∫ u d u = ∫   300 90 - u d u

Resolvendo a integral, temos

∫   300 90 - u d u = - 300 ln ⁡ 90 - u

Ou seja

∫   300 v ' t 90 - v t d t = - 300 ln ⁡ 90 - v t

Nossa integral então será - 300 ln ⁡ 90 - v t

Passo 2

No item b), vamos integrar a equação *

  300 v ' t 90 - v t = 1

∫   300 v ' t 90 - v t d t = ∫ 1 d t

- 300 ln ⁡ 90 - v t + C = t + C

- 300 ln ⁡ 90 - v t - t + C = 0

Elevando os dois lados à e para tirar o l n , continuamos

e - 300 ln ⁡ 90 - v t - t + C = e 0

e C - t 90 - v t 300 = 1

e C - t 90 - v t 300 300 = 1 300

e C - t 300 90 - v t = 1

e C - t 300 = 90 - v t

v t = 90 - e C - t 300

Fala a verdade, isso é muito bonito 😍

Passo 3

No item c) vamos usar a equação que encontramos - 300 ln ⁡ 90 - v t - t + C = 0 para encontrar a constante C .

Se v 0 = 0 , logo

- 300 ln ⁡ 90 - 0 - 0 + C = 0

C = 300 ln ⁡ 90

C = 1349,9

Encontramos nossa constante, agora vamos em busca da nossa velocidade quando t for muito grande

v t = 90 - e 1349,9 - t 300

v ∞ = 90 - e 1349,9 - ∞ 300

v ∞ = 90 - e - ∞ 300

Lembre que e - ∞ tende a 0 , então

v ∞ = 90 - 0 300

v ∞ = 90

Essa resposta é válida de acordo com as informações que temos no enunciado, onde diz que a velocidade v t varia entre 0 e 90 .

É isso! Muito bacana! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

a) ∫   300 v ' t 90 - v t d t = - 300 ln ⁡ 90 - v t

b) v t = 90 - e C - t 300

c) v ∞ = 90

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