Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Use integração por substituição para calcular as integrais abaixo.

∫ x x 4 + 2 x 2 + 3 d x

Passo 1

Beleza pessoal?! Aqui quem vos fala é Yuri e hoje iremos resolver mais uma questão dessa nossa lista de integração por substituição. A dica aqui é escolher uma substituição adequada, pois queremos facilitar nossa vida não complicar.

Primeiro de tudo, vamos manipular nosso numerador para encontramos um caminho para uma substituição,

x 4 + 2 x 2 + 3 = x 2 + 1 2 + 2

Manipulando mais ainda, podemos chegar a algo que nos remete uma integração já tabelada,

2 x 2 + 1 2 2 + 1

Passo 2

Substituindo agora na nossa integral,

∫ x x 4 + 2 x 2 + 3 d x = 1 2 ∫ x x 2 + 1 2 2 + 1 d x

Sabemos previamente que,

∫ 1 x 2 + a 2 d x = 1 a arctan ⁡ x a + C

Então agora o que nos falta é uma substituição que nos leva até essa configuração de integral,

Se chamarmos de u = x 2 + 1 2 , temos que d u = 2 x 2   = 2 x ,

Substituindo na integral,

1 2 2 ∫ 1 u 2 + 1 d u

1 2 2 arctan ⁡ u + C

Não esquecendo de voltar para a variável x,

1 2 2 arctan ⁡ x 2 + 1 2 + C

E aqui acabamos nossa resolução, espero que tenha gostado e até uma próxima. Forte abraço e bons estudos!!

Resposta

1 2 2 arctan ⁡ x 2 + 1 2 + C

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