Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Use uma mudança de variáveis (substituição) para demonstrar as duas afirmações abaixo. Em seguida, faça uma interpretação geométrica de cada uma delas.

  1. Se f é par então ∫ - a a f ( x ) d x   =   2 ∫ 0 a f ( x ) d x

Passo 1

E aii, galerinha!! Como estão? Vamos juntos pra mais uma!!

Pessoal, a questão quer que utilizemos o método da mudança de variáveis, ou seja, a regra da substituição para provar que Se f é par então ∫ - a a f ( x ) d x   =   2 ∫ 0 a f ( x ) d x , e em seguida devemos fazer uma explicação geométrica ( gráfica) sobre o nosso problema em questão.

Vocês estão prontos, crianças???

Passo 2

Inicialmente, iremos separar os limites de integração da nossa integral de forma que as novas integrais se somem.

∫ - a a f ( x ) d x   = ∫ - a 0 f ( x ) d x   + ∫ 0 a f ( x ) d x  

Agora utilizaremos o método da substituição como o enunciado nos pediu. Dessa forma, chamaremos y   =   - x .

Passo 3

Nesse passo iremos manipular a integral ∫ - a 0 f ( x ) d x , substituindo y   =   - x temos que:

∫ - a 0 f ( x ) d x =   ∫ a 0   f ( - y ) ( - 1 ) d y     =   -   ∫ a 0   f ( - y ) d y  

Como o enunciado nos informou que a função f é de paridade par, isso significa que f ( y )   =   f ( - y ) . Portanto,

∫ - a 0 f ( x ) d x   =   -   ∫ a 0   f ( - y ) d y   =     -   ∫ a 0   f ( y ) d y  

E como existe uma propriedade das integrais que afirma que podemos inverter a ordem dos limites de integração desde que seja acrescentado um sinal negativo à função a ser integrada, podemos afirmar que

    -   ∫ a 0   f ( y ) d y   = ∫ 0 a   f ( y ) d y   =     ∫ 0 a   f ( x ) d x    

Passo 4

Dessa forma, temos que

∫ - a a f ( x ) d x   = ∫ - a 0 f ( x ) d x   + ∫ 0 a f ( x ) d x  

  ∫ - a a f ( x ) d x   =     ∫ 0 a   f ( x ) d x   + ∫ 0 a f ( x ) d x   =     2 ∫ 0 a   f ( x ) d x  

Como a integral representa a área do gráfico isso significa que quando temos a integral de uma função par, as áreas se somam e quando temos a integral de uma função ímpar essas áreas se subtraem.

Resposta

Resolução nos passos acima

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