Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule ∫ - 1 2 f x d x , para cada uma das funções abaixo:

a)

f x = sin ⁡ x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral:

∫ - 1 2 sin ⁡ x d x

Mas antes, temos que analisar esse módulo de x , o qual pode ser entendido da seguinte forma:

x = - x ,     x < 0 x ,     x ≥ 0

Portanto, aplicando em f ( x ) :

f x = sin ⁡ - x ,     x < 0 sin ⁡ x ,     x ≥ 0

Dessa forma, teremos duas integrais dadas da seguinte forma:

∫ - 1 2 sin ⁡ x d x = ∫ - 1 0 sin ⁡ - x d x + ∫ 0 2 sin ⁡ x d x

E aí? Bora lá resolver elas??!!

😉

Passo 2

Assim, resolvendo a primeira integral, temos:

∫ - 1 0 sin ⁡ - x d x

Fazendo u = - x ∴ d u = - d x , temos:

- ∫ - 1 0 sin ⁡ u d u ∴

= - - cos ⁡ - x 0 - 1 ∴

= 1 - cos ⁡ 1

E, resolvendo a segunda integral, temos:

∫ 0 2 sin ⁡ x d x

= - cos ⁡ - x 2 0 ∴

= - cos ⁡ 2 + 1

Passo 3

Dessa forma, como acabamos de descobrir os valores das duas integrais, temos:

∫ - 1 2 sin ⁡ x d x = ∫ - 1 0 sin ⁡ - x d x + ∫ 0 2 sin ⁡ x d x ∴

∫ - 1 2 sin ⁡ x d x = 1 - cos ⁡ 1 ± cos ⁡ 2 + 1 ∴

∫ - 1 2 sin ⁡ x d x = 2 - cos ⁡ 1 - cos ⁡ 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ - 1 2 sin ⁡ x d x = 2 - cos ⁡ 1 - cos ⁡ 2

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