Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

UFRJ, Álgebra Linear, P2 - 2017.2, Questão 14

Sejam Equation uma matriz quadrada e S o sistema Equation .

Equation Se quando Equation tem solução, a solução é única, então Equation pode não ter solução para algum Equation .

Equation Se Equation tem solução qualquer que seja Equation , então Equation sempre tem solução única.

(a) A afirmativa Equation é verdadeira e Equation é verdadeira.

(b) A afirmativa Equation é falsa e Equation é verdadeira.

(c) A afirmativa Equation é falsa e Equation é falsa.

(d) A afirmativa Equation é verdadeira e Equation é falsa.

Passo 1

Uma matriz quadrada, para ter solução única, precisa ter todas as suas linhas Equation Dessa forma, nosso sistema vai ter o mesmo número de incógnitas e equações, tornando possível achar uma solução única.

Vamos ver um exemplo,

Equation

Sabemos que Equation é Equation então, Equation também é.

O nosso sistema vai ser:

Equation

Que também pode ser escrito como:

Equation

Repara que temos uma combinação linear dos vetores das colunas, e vimos que eles formam um conjunto Equation de 2 vetores do Equation , ou seja, eles formam uma base do Equation

Com uma base do Equation consigo gerar todos os vetores desse espaço com alguma Equation

Ou seja, esse sistema sempre vai ter solução! A afirmativa Equation é falsa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A segunda alternativa é verdadeira.

Isso porque se Equation tem solução qualquer que seja Equation , quer dizer que Equation é sobrejetiva, ou seja a dimensão da imagem é igual a do contradomínio. Como a matriz é quadrada, a dimensão do contradomínio vai ser igual a do domínio.

Então nosso TNI ficaria assim:

Equation

Chamei a dimensão do domínio de Equation , e sei que vai ser igual a dimensão da imagem, logo:

Equation

Equation

Ou seja, a matriz também é injetiva, e quando ela é injetiva, ela tem solução única!

Resposta

(b)

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