Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

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Enunciado

Seja A a matriz:

1 0 - 1 1 - 1 2 3 3 0 1 1 2 1 3 2 7

Qual dos vetores abaixo não está na imagem de A ?

( a ) - 3,5 , 1,0

( b ) 0,2 , 1,3

( c ) 2 , - 4 , - 1 , - 1

( d ) - 2,4 , 6,6

Passo 1

Alguma ideia? Bom, a imagem de uma matriz é o espaço coluna dela. Então você podia tentar tirar no olho qual vetor desses não pode ser gerado por combinação das colunas de A . Mas isso pode ser meio complicado, então vamos achar a imagem pra não ter problema. Vamos transpor a matriz e escalonar pra achar a imagem:

1 - 1 0 1 0 2 1 3 - 1 3 1 2 1 3 2 7 → L 4 ← L 4 - L 1 L 3 ← L 3 + L 1 1 - 1 0 1 0 2 1 3 0 2 1 3 0 4 2 6 → L 3 ← L 3 - L 2 L 4 ← L 4 - 2 L 2 1 - 1 0 1 0 2 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0

Logo,

I m A = 1 , - 1,0 , 1 , 0,2 , 1,3

Opa, agora ta bem mais tranquilo de resolver essa questão né! Temos que ver qual vetor das opções não pode ser C L desses dois!

Passo 2

Já eliminamos a b porque ela é um dos vetores haha. Vamos ver o resto.

Repare que um dos vetores geradores que achamos tem zero na terceira coordenada e o outro tem zero na primeira! Podemos usar isso pra descobrir de cara o coeficiente que teremos que usar na combinação! Por exemplo para formarmos o vetor x , y , z , w , temos obrigatoriamente:

x , y , z , w = x 1 , - 1,0 , 1 + z 0,2 , 1,3

Sacou? Se não usássemos esses coeficientes já não seríamos capazes de gerar nosso vetor.

a   - 3,5 , 1,0 = - 3 1 , - 1,0 , 1 + 1 0,2 , 1,3 = - 3,5 , 1,0

c   2 , - 4 , - 1 , - 1 = 2 1 , - 1,0 , 1 - 1 0,2 , 1,3 = 2 , - 4 , - 1 , - 1

d   - 2,4 , 6,6 = - 2 1 , - 1,0 , 1 + 6 0,2 , 1,3 = - 2,14,6 , 16

A única que não bate é a d então essa não está na imagem de A .

Resposta

Letra ( d )

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