Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

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Enunciado

Assinale o conjunto que NÃO É uma base para a imagem da matriz

1 4 1 2 6 0 4 8 - 4

(a) { ( 1 ,   2 ,   4 ) ,   ( 1 ,   0 ,   - 4 ) }

(b) { ( 1 ,   0 ,   0 ) ,   ( 4 ,   2 ,   0 ) }

(c) { ( 1 ,   2 ,   4 ) ,   ( 0 ,   1 ,   4 ) }

(d) { ( 4 ,   6 ,   8 ) ,   ( 1 ,   0 ,   - 4 ) }

Passo 1

Vamo lá, a imagem é o espaço gerado pelos vetores coluna e vemos que:

4 ,   6 ,   8 = 3 1 ,   2 ,   4 +   ( 1 ,   0 ,   - 4 )

Ou seja, a segunda coluna é C L   das outras, então esse espaço tem dimensão 2.

Para formar uma base precisamos de 2 vetores que formem um conjunto L I pertencentes ao espaço gerado pelos vetores coluna.

Passo 2

Vamos analisar as alternativas:

A letra (a) e (d) são compostas pelos próprios vetores das colunas então claramente são bases da imagem.

Agora, podemos testar os vetores das outras alternativas para ver se seguem nossas exigências, mas, tem um jeito muito mais rápido de sair desse problema!

Olha as opções que faltam, (b) e (c)

Repara que na letra (b) os dois vetores que formariam a base tem a 3 a coordenada igual a zero, logo, nenhuma combinação linear deles vai gerar um vetor com 3 a coordenada diferente de zero!

Como sabemos que nesse espaço existem vetores com terceira coordenada não nula, temos que desconsiderar essa possibilidade e admitir que esse conjunto não é uma base para a imagem.

Resposta

b

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