Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

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Enunciado

Seja A uma matriz 2 × 5 . Considere as afirmações:

(I) Necessariamente, dim ⁡ N ( A ) > dim ⁡ I m ( A ) .

(II) dim ⁡ I m A T pode ser 3.

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Passo 1

(I) A matriz A é desse tipo:

Então se eu quero achar o núcleo de A, teria que fazer:

Ou seja, ficaríamos com um sistema com 2 equações.

Aí lembra o seguinte:

n °   d e   e q u a ç õ e s = n °   d e   v a r i á v e i s   d e p e n d e n t e s   V D

dim ⁡ e s p a ç o = n °   d e   v a r i á v e i s   l i v r e s   ( V L )

Temos então 2 VDs e 3 VLs.

Mas essas equações vieram do núcleo né, então:

dim ⁡ e s p a ç o = dim ⁡ n ú c l e o = 3

Beleza, agora falta achar a dim ⁡ I m A .

Como a imagem é o espaço gerado pelas colunas e temos 5 vetores do R 2 nas colunas, vamos ter, no máximo, 2 vetores LI (nesse caso, todos os outros vão ser CLs deles).

Logo:

dim ⁡ I m A ≤ 2

E a afirmação (I) é verdade, pois em qualquer caso:

dim ⁡ N ( A ) = 3 > dim ⁡ I m ( A )

Passo 2

(II) A matriz transposta tem 5 linhas e 2 colunas.

Sua imagem (espaço gerado pelas colunas) é gerada por vetores do R 5 e só temos 2 vetores nas colunas.

Podemos ter 2 vetores LD (um vai ser múltiplo do outro), e nesse caso dim ⁡ A T = 1

Ou então ter 2 vetores LI, e dim ⁡ A T = 2 .

Não é possível que dim ⁡ A T = 3 , então (II) é falsa.

Resposta

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

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