Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

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Enunciado

Considere o sistema A x → = b → :

  1. Se não existe solução, então A não é sobrejetiva.
  2. Se tem várias soluções então A pode ser injetiva.

a   I é verdadeira, mas II é falsa.

b   I é falsa, mas II é verdadeira.

c   I e II são verdadeiras.

d   I e II são falsas.

Passo 1

Afirmativa I:

Se uma matriz é sobrejetiva então ela gera todo o seu contradomínio. Se ela gera todo seu contradomínio então não existe nenhum vetor b → que ela não consiga “alcançar”. Em outras palavras, se ela for sobrejetiva, sempre terá solução. Então se não tem solução quer dizer que não é sobrejetiva ;)

Passo 2

Afirmativa II:

Com certeza não. Na verdade isso é a definição de injetiva né. Uma função injetiva (isso se aplica as matrizes também) é aquela na qual dois ou mais elementos do domínio não possuem a mesma imagem no contradomínio.

Isso quer dizer que não pode existir mais de uma solução para o sistema. Caso contrário a função levaria mais de um x → (valor do domínio) no mesmo valor b → (valor do contradomínio).

Resposta

Letra ( a )

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