Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

Ver Teoria

Enunciado

Seja A x = b um sistema linear m × n qualquer. Considere as seguintes afirmações:

I Se a dimensão do núcleo de A for diferente de zero então A x = b pode ter solução única.

I I Se a dimensão do espaço gerado pelas colunas de A é menor do que m , então pode haver A x = b sem solução.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

Passo 1

Afirmativa I :

Se a dimensão do núcleo de A for diferente de zero, então A não é injetiva e, portanto, o sistema A x = b nunca possui solução única. Ele pode não ter solução, mas se tiver, nunca será única. Essa é falsa.

Afirmativa I I :

A imagem de A vai se encontrar sempre no R m que é o contradomínio da matriz. Se a dimensão do espaço gerado pelas colunas de A , ou seja, a dimensão da imagem de A , for menor que m , então A não é sobrejetiva! Se A não é sobrejetiva, pode haver A x = b sem solução. Verdadeira.

Resposta

Letra ( b )

Exercícios de Livros Relacionados

Prove a parte (a) do Teorema 4.11.3 . [Sugestão: uma reta no plano tem uma equação da forma A x +B y +C=0 , com A e B não ambos zeros. Use o método do Exemplo 6 para mostrar que a imagem dessa reta pe
Esboce a imagem do quadrado de vértices ( 0 ,0 ) ,( 1 ,0 ) ,( 1 ,2 ) e ( 0 ,2 ) pela multiplicação por:pela reflexão no eixo x.
Encontre a equação da imagem da reta y=- 4 x+3 pela multiplicação por: A = 4 - 3 3 - 2
Esboce a imagem do quadrado de vértices ( 0 ,0 ) ,( 1 ,0 ) ,( 1 ,2 ) e ( 0 ,2 ) pela multiplicação por:pela reflexão no eixo y .
Esboce a imagem do quadrado de vértices ( 0 ,0 ) ,( 1 ,0 ) ,( 1 ,2 ) e ( 0 ,2 ) pela multiplicação por:pela expansão na direção x de fator k = 2 .