Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

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Enunciado

Seja A x → = b → um sistema linear m × n qualquer. Considere as seguintes afirmações:

I   Se a dimensão do espaço gerado pelas colunas de A é menor do que m então não pode haver A x → = b → sem solução.

I I Se a dimensão do núcleo de A for diferente de zero, então A x → = b → pode ter solução única.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

Passo 1

Vamos analisar a I

A matriz é m × n , ou em outras palavras, R n → R m . Sabemos que a dimensão do espaço gerado pelas colunas é a imagem da matriz.

Se essa imagem tiver dimensão m (a dimensão do contradomínio) a matriz é sobrejetiva e portanto sempre terá solução.

No entanto, o enunciado diz que o espaço gerado pelas colunas de A tem dimensão menor que m .

Dessa forma ela não será sobrejetiva e pode sim haver A x → = b → sem solução.

Passo 2

Agora a I I

Bom se N u c A ≠ 0 sabemos que ela não é injetiva, e isso significa que dim ⁡ N u c A ≠ 0 .

E qual a definição de injetiva? Dois valores diferentes do domínio são sempre levados em duas imagens diferentes. Ou, em outras palavras, se o sistema A x → = b → tiver solução, ela é única.

Como a matriz não é injetiva (a afirmação diz que dim ⁡ N u c A ≠ 0 ) então A x → = b → não pode ter solução única.

Resposta

Letra ( b )

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