Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

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Enunciado

Considere os sistemas equivalentes A x = b 1 e B x = b 2 , onde B b 2 é a matriz obtida de A b 1 após o escalonamento. Assinale a afirmativa FALSA:

( a ) O conjunto solução de A x = b 1 é igual ao de B x = b 2

( b ) O conjunto solução de A x = 0 é igual ao de B x = 0 .

( c ) O espaço gerado pelas linhas de A é igual ao espaço gerado pelas linhas de B .

( d ) O espaço gerado pelas colunas de A é igual ao espaço gerado pelas colunas de B .

Passo 1

a Sim! Mil vezes sim! O que nós fazemos quando queremos resolver um sistema? Nós escalonamos ele pra ficar mais simples. Po, mas se o conjunto solução mudasse depois que você escalonasse não ia fazer sentido nenhum haha.

b Mesma coisa da letra a . Só que agora é o sistema homogêneo, que também escalonamos para acharmos as soluções mais facilmente.

c Essa tem que pensar um pouco mais, mas se você se ligar num detalhe sai de imediato! Quando queremos achar uma base para a imagem de uma matriz o que fazemos? Nós jogamos as colunas dela em linhas e escalonamos certo? O que isso quer dizer? Que o espaço gerado pelas linhas antes e depois do escalonamento não pode se alterar! Se alterasse, não íamos ter uma base pra imagem porque não ia gerar mais a imagem haha.

d Só sobrou essa, então só pode ser a falsa. Não vale muito a pena provar isso, mas vamos usar o mesmo pensamento da c . Se o espaço gerado pelas colunas não se alterasse não íamos ter motivo pra jogar as colunas da matriz como linhas pra achar a base da imagem haha.

Resposta

Letra ( d )

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