Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

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Enunciado

Seja a matriz F = 1 2 1 3 1 1 2 - 1 0 .

Calcule a imagem, o posto, o núcleo e sua dimensão de F .

Passo 1

Para calcular a imagem, lembre que é só escalonar a transposta!

Fazendo:

1 3 2 2 1 - 1 1 1 0 ~ ⏟ L 2 ← 2 L 1 - L 2 1 3 2 0 5 5 1 1 0 ~ ⏟ L 3 ← L 1 - L 3 1 3 2 0 5 5 0 2 2 ~ ⏟ descartando linha múltipla 1 3 2 0 2 2

Assim, { 1 ,   3 ,   2 ,   0 ,   2 ,   2 } é uma base para Im ( F ) .

Como a base tem dois vetores, então dim ⁡ Im F = 2 , ou seja, posto F = 2 .

A imagem, então, é dada por:

Im F = 1 3 2 ,   0 2 2

Passo 2

E para calcular o núcleo é só calcular o sistema homogêneo associado à matriz:

1 2 1 3 1 1 2 - 1 0 x y z = 0 0 0

Para resolver esse sistema, podemos escalonar totalmente a matriz:

1 2 1 0 3 1 1 0 2 - 1 0 0 ~ ⏟ ( i ) 1 2 1 0 0 5 2 0 0 5 2 0 ~ ⏟ ( i i ) 1 2 1 0 0 5 2 0 ~ ⏟ ( i i i ) 1 2 1 0 0 1 2 5 0 ~ ⏟ ( i v ) 1 0 1 5 0 0 1 2 5 0

i : L 2 ← 3 L 1 - L 2   e   L 3 ← 2 L 1 - L 2

i i :   descartando a 3ª linha, que é múltipla da 2ª

i i i L 2 ← 1 5 L 2

i v   L 1 ← L 1 - 2 L 2

Fazendo isso, veja que temos uma única coluna sem pivô, logo a dimensão do núcleo é 1 .  

Para calcular o núcleo, é só substituir as equações:

x + 1 5 z = 0 → x = - 1 5 z

y + 2 5 z = 0 → y = - 2 5 z

Assim,

x y z = - 1 5 z - 2 5 z z

Nuc F =   - 1 5 - 2 5 1  

Resposta

Im F = 1 3 2 ,   0 2 2 ,   posto F = 2 ,   Nuc F =   - 1 5 - 2 5 1 ,   dim( Nuc F ) = 1

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