Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

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Enunciado

Seja A uma matriz m × n e sejam B e C matrizes invertíveis n × n . Dentre as afirmações abaixo, a única falsa (isto é, que não é verdadeira para determinadas escolhas de A , B e C ) é:

a   B C - 1 T = B - 1 T C - 1 T

b I m A B ⊂ I m A (onde I m denota “imagem”)

c   N A B ⊃ N B (onde N denota “núcleo”)

d   B C = C B

Passo 1

Letra a

Pra resolver essa temos que lembrar de uma propriedade da transposta e da inversa que dizem o seguinte:

A B T = B T A T

A B - 1 = B - 1 A - 1

Sim, aquelas que estavam com uma observação dizendo que eram muito importantes em Caps Lock. Espero que não tenham esquecido haha.

Substituindo essas relações:

B C - 1 T = C - 1 B - 1 T = B - 1 T C - 1 T

Letra b

Sabemos que a matriz B é invertível. Por aquele nosso mega quadrinho de implicações loucas em matrizes quadradas sabemos então que ela é sobrejetiva. Isso quer dizer que a matriz B gera qualquer vetor do R n .

Isso quer dizer que aplicar B antes de aplicar A não restringe os vetores que A pode receber sacou? Se A estivesse sozinha ela poderia receber qualquer vetor do R n e geraria lá a sua imagem. Aplicando B antes ela continua podendo receber qualquer vetor do R n (já que B gera todo o R n ) então sua imagem não muda. Essa tá correta então. A imagem de A B não só está contida em na imagem de A como é igual a ela.

Letra c

Novamente pelo nosso quadro de implicações se a matriz é invertível então ela é injetiva. Ou seja, o núcleo de B é apenas o vetor nulo:

N B = 0

Então, naturalmente, o núcleo de B está contido no núcleo de A B . Pra falar a verdade o núcleo de B está contido no núcleo de qualquer matriz que você quiser, já que toda matriz contém o vetor nulo em seu núcleo.

Letra d

Essa já ta mais do que manjada de que é falsa né haha. Não deve nem dar pra contar nos dedos o número de vezes que falei que, em geral, o produto de matrizes não é comutativo.

Resposta

Letra d

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