Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

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Enunciado

Considere o sistema A x = b e sejam respectivamente p e q os números de colunas linearmente independentes L I de A e da matriz aumentada A b . Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

( a ) Se p = q então o sistema tem solução única

( b ) Se p = q então o sistema não tem solução

( c ) Se p < q então o sistema possui infinitas soluções

( d ) Se p < q então o sistema não tem solução

Passo 1

O que nós fazermos quando passarmos uma matriz para sua forma aumentada? É como se ela ganhasse uma coluna nova certo? Que no caso é o nosso vetor b . Tendo isso em mente, vamos ver as alternativas!

a Bom, se temos p = q , então o número de colunas L I de A e de A b é o mesmo. Isso quer dizer que o vetor b é L D com relação às colunas de A ! Pois nós adicionamos ele e o número de colunas L I permaneceu o mesmo.

Bom, se o vetor b é L D com as colunas de A então ele pode ser gerado pela combinação delas, então ele está na imagem de A ! E se ele está na imagem de A , então o sistema A x = b possui solução!

Só tem um problema agora, a alternativa fala que o sistema tem solução única. Po, nós sabemos que ele tem solução, mas não podemos dizer se ela é única ou se existem infinitas soluções sem conhecer a matriz A concorda? Não podemos saber quantas variáveis livres temos! Então essa está errada.

Passo 2

b Novamente temos p = q . Bom nós vimos na letra a que isso quer dizer que o sistema tem solução, só não sabemos se é única ou não. Então essa afirmativa é falsa já que diz que o sistema não tem solução.

Passo 3

c Dessa vez temos uma afirmação diferente. Agora p < q ! Ou seja, a matriz aumentada ganhou uma coluna L I , que no caso é o nosso vetor b . Po, mas se b é L I em relação às colunas de A , então ele não pode ser gerado como combinação linear delas! Então b não está na imagem de A !! Com isso, chegamos à conclusão de que o sistema não pode ter solução. Essa é falsa.

Passo 4

Novamente temos p < q . Mas como já vimos na c isso implica em dizer que o sistema não tem solução! Então essa tá certinha.

Resposta

Letra ( d )

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