Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

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Enunciado

Seja A   uma matriz 4   ×   3 :

I - N ( A ) pode ter dimensão maior do que I m ( A )

II -   N A ⊂   R 3 e   I m A ⊂ R 4

(a) I é falsa e II é verdadeira

(b) Ambas são verdadeiras

(c) I é verdadeira e II é falsa

(d) Ambas são falsas

Passo 1

Analisando a primeira alternativa:

I - N ( A ) pode ter dimensão maior do que I m ( A )

Vamos primeiro visualizar essa matriz:

A = a b c d e f g h i j k l

O núcleo da matriz é um tipo de conjunto solução, ou seja, um subconjunto do seu domínio! Como a matriz é 4   ×   3 , ou seja, tem 3 colunas, o domínio é o R 3 .

A v = a b c d e f g h i j k l x y z

Assim, o núcleo terá uma dimensão menor ou igual a 3. Isso porque um espaço sempre vai ter dimensão menor do que a do espaço no qual ele está contido.

Já a imagem é um subconjunto do contra-domínio. Como a matriz tem 4 linhas, sabemos que a imagem pertence ao R 4 .

Assim, a imagem terá uma dimensão igual ou menor que 4.

Bom, sabemos então qual a dimensão máxima de cada espaço, mas não podemos afirmar nada sobre qual terá a dimensão maior. Logo, é sim possível que a do núcleo seja maior do que a da imagem.

A afirmativa é verdadeira.

Passo 2

II -   N A ⊂   R 3 e   I m A ⊂ R 4

Opa, é exatamente o que eu mostrei no passo 1. É verdadeira!

Resposta

b

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