Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

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Enunciado

Assinale a matriz cuja imagem é um plano e cujo núcleo é uma reta.

(a) 1 - 1 1 1 - 1 1

(b) 1 - 1 1 1 - 1 1 1 - 1 1

(c) 1 1 2 1 2 3 1 1 2

(d) 1 1 1 1 2 1 1 1 3

Passo 1

Antes de começar vamos traduzir o que essa questão quer.

Lembra que:

D i m p l a n o = 2

D i m r e t a = 1

Então o que temos que fazer é achar uma matriz A tal que:

D i m I m ( A ) = 2

D i m N u c ( A ) = 1

Pra poupar tempo, podemos usar aqui o Teorema Núcleo-Imagem pra matrizes!

Ele diz que se a gente tem uma matriz A m x n , onde m é o número de linhas e n o número de colunas, podemos usar a relação:

De início a gente pode pensar em eliminar algumas alternativas. Se a gente substituir os valores da dimensão da imagem e do núcleo que a questão pede, vamos ter que:

n = 3

Ou seja, a matriz A que a gente está procurando tem que ter dimensão m x 3 , logo ela tem que ter 3 colunas.

Mas todas as matrizes das alternativas têm 3 colunas ☹

Então vamos testar uma a uma mesmo

Passo 2

(a) 1 - 1 1 1 - 1 1

A segunda linha dessa matriz é igual a primeira, então se escalonarmos, vamos eliminar essa linha.

Como ficamos com uma só linha, a dimensão da imagem é 1.

D i m I m = 1

Substituindo isso no Teorema Núcleo-Imagem:

D i m N u c + 1 = 3

(já colocamos o n = 3 porque vimos que vai ser 3 pra todas as matrizes)

Então:

D i m N u c = 2

E essa não é a nossa resposta.

Passo 3

(b) 1 - 1 1 1 - 1 1 1 - 1 1

Nesse caso as 3 linhas são iguais, então se escalonarmos vamos eliminar as duas últimas linhas e ficarmos só com a primeira.

Então a dimensão da imagem é 1.

D i m I m = 1

Substituindo isso no Teorema Núcleo-Imagem:

D i m N u c + 1 = 3

Logo:

D i m N u c = 2

E essa também não é a nossa resposta.

Passo 4

(c) 1 1 2 1 2 3 1 1 2

Agora temos que a terceira linha é igual a primeira, então quando escalonarmos vamos zerá-la e ficar só com as duas primeiras.

Só que uma não é múltipla da outra, então se continuarmos escalonando não vamos conseguir zerar essa segunda linha não.

Aí vamos continuar com duas linhas. Então a dimensão da imagem é 2.

D i m I m = 2

Substituindo no Teorema Núcleo-Imagem:

D i m N u c + 2 = 3

Logo:

D i m N u c = 1

E é isso que a questão queria!!!

Então nossa resposta é a letra (c).

Vamos só ver que a (d) também não satisfaz isso.

Passo 5

(d) 1 1 1 1 2 1 1 1 3

Nesse caso as 3 linhas são diferentes. Então vamos ter que escalonar mesmo.

1 1 1 1 2 1 1 1 3   ~ ⏞ ( i )   1 1 1 0 1 0 1 1 3 ~ ⏞ ( i i )   1 1 1 0 1 0 0 0 2

Passo (i): L 2 ← L 2 + ( - 1 ) L 1

Passo (ii): L 3 ← L 3 + ( - 1 ) L 1

Não zeramos nenhuma linha. Então a dimensão da imagem vai ser 3.

D i m I m = 3

Substituindo no Teorema Núcleo-Imagem:

D i m N u c + 3 = 3

Logo:

D i m N u c = 0

O que também não é o que queremos.

Resposta

(c) 1 1 2 1 2 3 1 1 2

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