Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

Ver Teoria

Enunciado

Seja A uma matriz n × k e B uma matriz n × n .

Suponha que a imagem de A está contida no núcleo de B .

Então podemos dizer que:

a   B A é injetiva

b   B A é sobrejetiva

c   B A = I

d   B A = 0

Passo 1

A gente sabe que, como A é n × k , então A é equivalente a uma transformação linear

A : R k →   R n

Igualmente, B n × n equivale a uma T L

B : R n → R n

O enunciado disse que I m A ⊂ N u c ( B ) .

Bom, mas o que é a imagem de uma matriz? São simplesmente todos os vetores que ela é capaz de gerar pela combinação linear das suas colunas. Isso quer dizer que as colunas de A também fazem parte do núcleo de B , concorda?

E o que nós fazemos em um produto de matrizes? Para encontrarmos B A nós aplicamos cada uma das colunas de A em B certo? Ou seja, a primeira coluna de B A é o resultado de B vezes a primeira coluna de A . A segunda coluna de B A é B vezes a segunda coluna de A . E assim por diante!

Mas se as colunas de A estão no núcleo de B , então vai dar sempre zero!!!

Ou seja, temos que B A = 0 !

Resposta

Letra d

Exercícios de Livros Relacionados

Prove a parte (a) do Teorema 4.11.3 . [Sugestão: uma reta no plano tem uma equação da forma A x +B y +C=0 , com A e B não ambos zeros. Use o método do Exemplo 6 para mostrar que a imagem dessa reta pe
Esboce a imagem do quadrado de vértices ( 0 ,0 ) ,( 1 ,0 ) ,( 1 ,2 ) e ( 0 ,2 ) pela multiplicação por:pela reflexão no eixo x.
Encontre a equação da imagem da reta y=- 4 x+3 pela multiplicação por: A = 4 - 3 3 - 2
Esboce a imagem do quadrado de vértices ( 0 ,0 ) ,( 1 ,0 ) ,( 1 ,2 ) e ( 0 ,2 ) pela multiplicação por:pela reflexão no eixo y .
Esboce a imagem do quadrado de vértices ( 0 ,0 ) ,( 1 ,0 ) ,( 1 ,2 ) e ( 0 ,2 ) pela multiplicação por:pela expansão na direção x de fator k = 2 .