Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

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Enunciado

Considere o sistema A x = b

  1. Se não tem solução, então b ___ ( ∈ , ∉ ) ____ ( I m A ,   N u c A )
  2. Se a solução não é única, então N u c ( A ) ____ ( = , ≠ ) _____ ( I m A , 0 )

Passo 1

Letra a)

Sabemos que um sistema linear não tem solução quando b não pode ser escrito como uma C L dos vetores colunas de A . Sendo assim, b ∉ I m ( A )

Letra b)

O único jeito de termos infinitas soluções é com o sistema homogêneo associado tendo infinitas soluções, pois a solução geral é da forma:

S = v 0 + S 0

Sendo v 0 uma solução particular e S 0 a solução do sistema homogêneo. Logo, como o N u c ( A ) é exatamente a solução do sistema homogêneo, então podemos concluir que N u c A ≠ { 0 }

Resposta

  1. ∉ ,   I m A
  2. ≠ ,   { 0 }

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Esboce a imagem do quadrado de vértices ( 0 ,0 ) ,( 1 ,0 ) ,( 1 ,2 ) e ( 0 ,2 ) pela multiplicação por:pela expansão na direção x de fator k = 2 .