Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

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Enunciado

Seja A uma matriz quadrada, n × n . Considere as afirmativas abaixo:

  1. Se A é injetiva, então o sistema A x → = b → sempre tem mais de uma solução.
  2. Se A é sobrejetiva, então o sistema A x → = b → sempre tem solução única.

a   Ambas são falsas

b   Ambas são verdadeiras

c   I é falsa e I I é verdadeira

d   I é verdadeira e I I é falsa

Passo 1

Afirmativa I :

Se A é injetiva sabemos que ela nunca levará dois vetores do domínio no mesmo vetor do contradomínio. Em outras palavras ela nunca terá mais de uma solução! Essa é falsa.

Afirmativa I I :

O segredo dessa está na matriz ser quadrada! Para uma matriz quadrada sabemos que vale o seguinte:

A   s o b r e j e t i v a   ⟺ A   i n j e t i v a

A afirmação diz que ela é sobrejetiva, então sabemos que sempre tem solução. Como é quadrada, ela também é injetiva e, portanto, a solução sempre é única! Logo, ela sempre tem solução única! Essa é verdadeira.

Resposta

Letra c

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