Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

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Enunciado

O conjunto v → 1 ,   v → 2 , v → 3 é linearmente dependente e o conjunto v → 2 , v → 3 , v → 4 é linearmente independente. Seja A a matriz cujas colunas são os vetores v → 1 ,   v → 2 , v → 3 . Assinale a resposta CORRETA:

( a ) O sistema A X → = v → 4 não possui solução.

( b ) O sistema A X → = v → 1 possui solução única.

( c ) O sistema A X → = v → 2 não possui solução.

( d ) O sistema A X → = v → 3 possui solução única.

Passo 1

Antes de irmos para as letras, vamos analisar as informações que nos deram:

v → 1 ,   v → 2 , v → 3 é L D e   v → 2 , v → 3 , v → 4 é L I .

Bom, se o primeiro conjunto é L D , e o segundo (que contém 2 elementos do primeiro) é L I , então isso quer dizer que tiramos o elemento que fazia o primeiro conjunto L D concorda?

E esse elemento retirado é o v → 1 . Isso quer dizer que v → 1 é combinação linear de v → 2 e v → 3 . Ou seja, v → 1 pertence ao espaço gerado por v → 2 e v → 3 . Mas v → 2 e v → 3 são L I entre si!

Não só isso, mas v → 4 também é L I com v → 2 e v → 3 . Então ele não pode ser formado por uma combinação linear de v → 2 e v → 3 . Em outras palavras, v → 4 não faz parte do espaço gerado pelos vetores v → 2 e v → 3 . Por consequência disso ele também não faz parte do espaço gerado por v → 1 , v → 2 e v → 3 (que é o mesmo gerado por v → 2 e v → 3 ).

Passo 2

Ta, e pra que eu fiz essa análise toda? Veja bem, o espaço gerado pelas colunas de A é a imagem de A correto? Essa imagem é então gerada pelos vetores v → 1 ,   v → 2 , v → 3 . E sabemos que um sistema só terá solução se o vetor que queremos obter estiver na imagem de A . Caso contrário é impossível gerarmos ele.

Ou seja, para o sistema ter solução, o vetor do lado direito da igualdade precisa fazer parte do espaço gerado por v → 1 ,   v → 2 , v → 3 . E como vimos lá em cima, v → 4 não faz parte desse espaço! Então o sistema A X → = v → 4 não possui solução! A resposta certa é a a .

Resposta

Letra ( a ) .

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