Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

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Enunciado

Considere os vetores v → = 10,11,12 ⊥ ,   w → = 452 , - 113 ⊥ e a matriz A = 1 4 2 5 3 6 . Verifique as afirmativas abaixo:

I - w → ∈ N ( A )

I I - v → ∈ I m ( A )

a )   I é falsa e I I é verdadeira

b)   Ambas são verdadeiras

c) Ambas são falsas

d)   I é verdadeira e I I é falsa

Passo 1

Vamos primeiro testar se w →   pertence ao núcleo:

1 4 2 5 3 6 452 - 113 = 0 339 678

Como não levou ao vetor nulo, esse vetor não pertence ao núcleo e a afirmativa I é falsa.

Passo 2

Agora, para o vetor v →   pertencer à imagem, ele deve poder ser escrito como uma C L dos vetores da sua base:

10,11,12 = a 1,2 , 3 + b ( 4,5 , 6 )

10,11,12 = a + 4 b , 2 a + 5 b , 3 a + 6 b

a + 4 b = 10 2 a + 5 b = 11 3 a + 6 b = 12

Resolvendo esse sistema, achamos que a = - 2 ,   b = 3 .

Como o sistema tem solução, o vetor v → pertence a imagem.

Resposta

a

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