Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

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Enunciado

Seja A uma matriz 3   ×   2 . Então o núcleo de A e a imagem de   A são subconjuntos, respectivamente, de:

(a) R 3 e R 2

(b) R 2   e R 3

(c) R 3 e R 3

(d) R 2   e R 2

Passo 1

Vamos imaginar uma matriz 3 × 2 para chamarmos de A   e conseguirmos visualizar melhor nosso problema:

A = 1 2 0 - 1 2 0

Passo 2

Agora vamos relembrar da definição de núcleo: conjunto de vetores do domínio, ou seja, que aplicamos a matriz, que leva ao vetor nulo.

Então um vetor do núcleo dessa matriz seria por exemplo esse aqui:

1 2 3 6 2 4 2 - 1 = 0 0 0

2 , - 1 ∈ N u c ( A )

E ( 2 , - 1 ) é um vetor do R 2 ,logo o núcleo desse tipo de matriz vai ser subconjunto de   R 2 .

Passo 3

E por fim, a definição de imagem: espaço gerado pelos vetores coluna da matriz. Ou seja:

I m A = s p a n { 1,3 , 2 , 2,6 , 4 }

É gerada por dois vetores que pertencem ao R 3 , logo, esse tipo de matriz vai ter sua imagem como subconjunto do R 3 .

Resposta

b

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