Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

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Enunciado

Assinale a matriz abaixo cujo núcleo é a reta x - y = 0 e cuja imagem é a reta x + y = 0 :

( a ) 1 - 1 - 1 - 1

( b ) 10 10 - 10 - 10

( c ) - 20 - 20 20 20

( d ) - 30 30 30 - 30

Passo 1

Se o núcleo é a reta x - y = 0 , todo vetor com coordenadas x = y tem que ser levado no zero concorda? Só nisso nós já eliminamos todas menos a d :

1 - 1 - 1 - 1 x x = x - x - x - x = 0 - 2 x

10 10 - 10 - 10 x x = 10 x + 10 x - 10 x - 10 x = 20 x - 20 x

- 20 - 20 20 20 x x = - 20 x - 20 x 20 x + 20 x = - 40 x 40 x

- 30 30 30 - 30 x x = - 30 x + 30 x 30 x - 30 x = 0 0

Passo 2

Só por desencargo de consciência, vamos verificar a imagem também! Para isso, basta verificarmos se as colunas da matriz obedecem a restrição da reta x + y = 0 :

- 30 30 30 - 30

↓         ↓

- 30 + 30

+ 30 - 30

= 0 = 0

Show! Deu certo!

Resposta

Letra ( d )

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