Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

UFRJ, Álgebra Linear, P2 -2017.2, Questão 14

Sejam A uma matriz quadrada e S o sistema A x → = b → .

( I ) Se quando   S tem solução, a solução é única, então S pode não ter solução para algum b → .

( I I ) Se S tem solução qualquer que seja b → , então S sempre tem solução única.

(a) A afirmativa ( I ) é verdadeira e ( I I ) é verdadeira.

(b) A afirmativa ( I ) é falsa e ( I I )   é verdadeira.

(c) A afirmativa ( I ) é falsa e ( I I ) é falsa.

(d) A afirmativa ( I ) é verdadeira e ( I I ) é falsa.

Passo 1

Uma matriz quadrada, para ter solução única, precisa ter todas as suas linhas L I .   Dessa forma, nosso sistema vai ter o mesmo número de incógnitas e equações, tornando possível achar uma solução única.

Vamos ver um exemplo,

A = a b c d

Sabemos que { a , b , c , d } é L I então, { a , c , b , d } também é.

O nosso sistema vai ser:

a b c d x y = b →

Que também pode ser escrito como:

a c x + b d y = b →

Repara que temos uma combinação linear dos vetores das colunas, e vimos que eles formam um conjunto L I de 2 vetores do R 2 , ou seja, eles formam uma base do R 2 .

Com uma base do R 2 consigo gerar todos os vetores desse espaço com alguma C L .

Ou seja, esse sistema sempre vai ter solução! A afirmativa ( I ) é falsa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A segunda alternativa é verdadeira.

Isso porque se S tem solução qualquer que seja b → , quer dizer que S é sobrejetiva, ou seja a dimensão da imagem é igual a do contradomínio. Como a matriz é quadrada, a dimensão do contradomínio vai ser igual a do domínio.

Então nosso TNI ficaria assim:

dim ⁡ ( I m A ) + dim ⁡ ( N u c A ) = m

Chamei a dimensão do domínio de m , e sei que vai ser igual a dimensão da imagem, logo:

m + dim ⁡ ( N u c A ) = m

dim ⁡ ( N u c A ) = 0

Ou seja, a matriz também é injetiva, e quando ela é injetiva, ela tem solução única!

Resposta

(b)

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