Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

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Enunciado

Sejam A , B e C matrizes tais que C = A B . Considere as afirmativas:

  1. Se A é injetiva e B não é injetiva, C pode ser injetiva.
  2. Se A é sobrejetiva e B não é sobrejetiva, C pode ser sobrejetiva.

a   A afirmativa I é falsa e a afirmativa I I é falsa

b   A afirmativa I é verdadeira e a afirmativa I I é falsa

c   A afirmativa I é falsa e a afirmativa I I é verdadeira

d   A afirmativa I é verdadeira e a afirmativa I I é verdadeira

Passo 1

Afirmativa I :

Pra resolver essa precisamos lembrar de duas coisas. Primeiro que o vetor nulo aplicado em qualquer matriz retorna o vetor nulo. Segundo que se uma matriz não é injetiva seu núcleo tem dimensão maior que 1 .

Vamos lá, temos que C = A B . Então aplicar a matriz C em um vetor é o mesmo que aplicar B e depois A ! Sabemos que B não é injetiva, então ela possui vetores não nulos no seu núcleo. Digamos que v seja esse vetor:

C v = A B v = A ∙ 0 = 0

Ou seja, se v pertence ao núcleo de B ele também pertence ao núcleo de C , logo, C não pode ser injetiva.

Passo 2

Afirmativa I I :

Vamos pegar A m × n e B n × l . Nesse caso:

A m × n B n × l = C m × l

Onde:

B : R l → R n

A : R n → R m

C : R l → R m

Sabemos que B não é sobrejetiva, então ela não gera o R n todo. Mas sabemos que A é sobrejetiva, ou seja, quando aplicada no R n ela gera todo o R m .

Aí você pode pensar que como aplicar C é o mesmo que aplicar B e depois A , a matriz A não “recebe” todo o R n da matriz B porque ela não é capaz de gerar ele todo. Então a matriz A não vai ser capaz de gerar todo o R m também. Mas isso não é exatamente verdade. Ela não necessariamente precisa do R n todo para gerar o R m . Por exemplo, se n > m ela precisará apenas de um “pedaço” do R n para gerar o R m . Então se escolhermos nossa B de forma a gerar esse “pedaço”, A conseguirá gerar todo o R m e C será sobrejetiva!

Ta, talvez alguns de vocês tenham entendido isso que eu falei, mas tenho que admitir que é algo bem complicado de assimilar haha. Então pra quem não está satisfeito vou dar um exemplo:

A = 1 0 1 0 1 1

B = 1 0 0 1 0 0

Nesse caso vemos que B não é sobrejetiva. Ela só gera 2 dimensões no R 3 . Já A é sobrejetiva, pois gera o R 2 todo. Vamos multiplicar elas:

1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 = 1 0 0 1

Opa, deu a matriz identidade, que com certeza é sobrejetiva também haha. Então está provado! Existem infinitos exemplos de matrizes A e B que geram C sobrejetiva, pode tentar achar algum outro se quiser.

Resposta

Letra c

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