Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

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Enunciado

Seja n um inteiro positivo e sejam A , B ∈ M n R tais que a matriz B seja obtida da matriz A por operações elementares de escalonamento em linhas. Assinale a alternativa contendo uma afirmação que NÃO é necessariamente verdadeira:

  1. os sistemas lineares homogêneos A X   =   0 e B X   =   0 (na incógnita X ∈ M n × 1 R ) possuem as mesmas soluções;
  2. det ( A )   =   det ( B ) ;
  3. se o sistema linear homogêneo A X   =   0 (na incógnita X ∈ M n × 1 R ) possui infinitas soluções, então det ( B )   =   0 ;
  4. qualquer linha de A é uma combinação linear das linhas de B ;
  5. se as linhas da matriz B são linearmente independentes, então o sistema linear A X   =   Y (na incógnita X ∈ M n × 1 R ) possui uma única solução, para qualquer Y ∈ M n × 1 R .

Passo 1

E aí, meu povo! Tudo bem? Vamos em etapas analisando cada uma das alternativas, começando pela (a). Mas antes disso, vamos relembrar um pouco quais são as tais três operações elementares de escalonamento em linhas de uma matriz de que o enunciado fala:

  1. Permutar duas linhas da matriz.
  2. Notação: l i ↔ l j

  3. Multiplicar uma linha por um escalar α ≠ 0 .
  4. Notação: l i ← α l i

  5. Somar a uma linha da matriz outra multiplicada por um escalar α ≠ 0 .

Notação: l i ← l i + α l j

Beleza! Agora que já relembramos quais são as operações elementares, vamos juntos: a forma mais fácil de concluirmos se a alternativa (a) é verdadeira ou falsa é notarmos que o método que nós utilizamos para resolver sistemas lineares é precisamente o escalonamento, certo? Costuma ser uma das primeiras coisas que aprendemos nos cursos de Álgebra Linear. Imagine só se o método que usamos para resolver sistemas lineares resultasse em um conjunto de soluções diferente do sistema original! O caos que seria hahaha

A questão aqui é a seguinte: as operações elementares que nós efetuamos sobre as linhas de uma matriz são precisamente aquelas que mudam o sistema de equações para um que seja mais fácil de resolver, mas sem mudar as soluções!

A alternativa (a) é então verdadeira.

Passo 2

Passo 3

Se você se lembra daquelas regrinhas de determinante que a gente costuma aprender na escola, já talvez já estivesse desconfiando que det ( A )   =   det ( B ) parece falso. Se esse é o seu caso, parabéns! Você acertou. Mas vamos um exemplo simplesinho só pra entendermos melhor o porquê de o determinante não ser mantido.

Vamos tomar a matriz A abaixo:

A   =   1 0 0 2

Uma das operações elementares de que comentamos é a multiplicação de uma linha por um escalar α ≠ 0 . Se multiplicarmos a segunda linha de A por 1 2 , temos:

B = 1 0 0 1

A matriz B foi obtida a partir da A por operações elementares de escalonamento em linhas, mas det ⁡ A = 2 e det ⁡ B = 1 . Então (b) é falsa e já encontramos nossa resposta! Mas vamos continuar avaliando as próximas alternativas mesmo assim. Bora lá!

Passo 4

Já comentamos na letra (a) que as soluções de A X = 0 e B X = 0 são as mesmas, certo? E qual é a condição para que um conjunto de n incógnitas tenha uma única solução? Como são n incógnitas, a gente precisa de n equações para ter uma solução única.

Mas aí você talvez esteja se perguntando “Ué, mas no enunciado não tá falando que nossas matrizes são quadradas? Então elas representam conjuntos de n equações e n incógnitas” Aí que mora o perigo, pequeno gafanhoto! Porque às vezes nós até temos n equações, mas algumas delas são combinação linear das outras. Então na verdade nós não temos realmente n equações. Aí talvez você se lembre lá das regrinhas de determinante da escola que se uma linha é combinação linear das outras, então det ⁡ = 0 !

Já temos então a nossa resposta. O determinante dá zero mesmo. Na verdade, como A X = 0 possui infinitas soluções, se levarmos a cabo o processo de escalonamento até chegar na matriz B , vamos notar nela que uma ou mais linhas vão zerar todinhas, ficando algo da forma:

B =   a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0

Passo 5

Pelo que comentamos das operações elementares, elas consistem na permutação de linhas ou na troca de uma linha por uma combinação linear dela com alguma outra. Ou seja, daí vemos que a matriz B de fato é obtida a partir da A por combinação linear das linhas.

Mas e contrário, também é verdadeiro? Pois então, sim! Porque basta a gente reverter as operações. Por exemplo, seja A :

A = 1 2 3 4

Se fizermos l 2 ← l 2 - 3 l 1 , temos:

B =   1 2 0 - 2

Mas partindo da B , nós conseguimos recuperar a matriz A por combinação linear das linhas. Só precisamos reverter a operação, ou seja, fazer l 2 ← l 2 + 3 l 1 :

A =   1 2 3 4

Passo 6

Já comentamos anteriormente que as linhas da matriz B são LI ou LD quando as linhas de A são LI ou LD, e vice-versa. Então, como as linhas de B são LI, as linhas de A também são. Como se trata de uma matriz quadrada com linhas LI, então a matriz A tem inversa e podemos fazer:

A X = Y ⇒ X = A - 1 Y

Nesse caso, o sistema de fato possui uma única solução, dada por A - 1 Y e alternativa (e) é verdadeira.

Gostou? Então vamos continuar estudando juntos!

Resposta

(b) det ( A )   =   det ( B ) ;

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