Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

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Enunciado

Seja

A = 1 2 - 1 1 1 - 1 - 1 - 2 1 2 - 1 1 1 1 - 1 0

Determine qual dos conjuntos abaixo forma uma base para a imagem de A .

( a ) 1,2 , - 1,1 , 1 , - 1 , - 1 , - 2 , 1 , - 1 , - 1,0

( b ) 1,1 , 1,1 , 2 , - 1,2 , 1 , 1 , - 2,1 , 0

( c ) 1,1 , 1,1 , 2 , - 1,2 , 1

( d ) 1,1 , 1,1 , 2 , - 1,2 , 1 , - 1 , - 1 , - 1 , - 1 , 1 , - 2,1 , 0

Passo 1

Não tem muita coisa que a gente possa afirmar sobre a imagem dessa matriz só olhando pra ela né? Vamos começar encontrando uma base para A e comparando com as opções! Para acharmos uma base para A basta jogarmos as colunas de A nas linhas de uma matriz e escalonarmos essa matriz. Ou seja, escalonamos a transposta de A :

A T = 1 1 1 1 2 - 1 2 1 - 1 - 1 - 1 - 1 1 - 2 1 0 → L 2 ← L 2 - 2 L 1 L 3 ← L 3 + L 1 L 4 ← L 4 - L 1 1 1 1 1 0 - 3 0 - 1 0 0 0 0 0 - 3 0 - 1 → L 4 ← L 4 - L 2 1 1 1 1 0 - 3 0 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0

Opa, sabemos agora que a imagem de A tem dimensão 2 . Só por isso já sabemos que a resposta é a letra c já que é a única que contém dois elementos! Lembrando que o tamanho de uma base tem que ser igual à dimensão do espaço que ela gera!

Resposta

Letra ( c )

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