Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

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Enunciado

Qual das matrizes abaixo possui imagem contida no plano x + y + z = 0

( a ) 1 - 2 1 2 1 - 3 1 2 - 3

( b ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3

( c ) 1 2 1 - 2 1 2 1 - 3 - 3

( d ) 1 2 1 - 2 1 2 2 - 2 - 2

Passo 1

A imagem é o espaço gerado pelas colunas. Logo, se a imagem está contida no plano x + y + z = 0 então as colunas da matriz também estarão contidas nesse plano! Então basta testarmos as colunas das matrizes e vermos qual tem todas as colunas contidas no plano:

a 1 + 2 + 1 = 4 ≠ 0

b 1 + 1 + 1 = 3 ≠ 0

c 1 - 2 + 1 = 0

2 + 1 - 3 = 0

1 + 2 - 3 = 0

Resposta

Letra ( c )

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Esboce a imagem do quadrado de vértices ( 0 ,0 ) ,( 1 ,0 ) ,( 1 ,2 ) e ( 0 ,2 ) pela multiplicação por:pela reflexão no eixo y .
Esboce a imagem do quadrado de vértices ( 0 ,0 ) ,( 1 ,0 ) ,( 1 ,2 ) e ( 0 ,2 ) pela multiplicação por:pela expansão na direção x de fator k = 2 .