Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

Ver Teoria

Enunciado

Dada uma matriz A, seja L uma matriz obtida reordenando-se as linhas de A e seja C uma matriz obtida reordenando-se as colunas de A.

(I) Se A x → = b → tem solução, então L x → = b → também tem solução.

(II) Se A x → = b → tem solução única, então C x → = b → também tem solução única.

(a) I é falsa e II é falsa.

(b) I é verdadeira e II é falsa.

(c) I é falsa e II é verdadeira.

(d) I é verdadeira e II é verdadeira.

Passo 1

(I) Se A x → = b → tem solução, então L x → = b → também tem solução.

A matriz L é obtida reordenando-se as linhas de A.

Quando reordenamos as linhas de A, precisamos reordenar da mesma forma as linhas do vetor b → para que possamos garantir a existência de solução do sistema.

Caso contrário, não podemos afirmar que o sistema resultante terá solução.

Em outras palavras, ao alterarmos a ordem das linhas, mudamos a imagem da matriz dos coeficientes, mas mantemos o mesmo vetor b → , que pode ou não ser gerado a partir da imagem da matriz L.

Por isso, essa afirmativa é falsa.

Passo 2

Passo 3

(II) Se A x → = b → tem solução única, então C x → = b → também tem solução única.

A matriz C é obtida reordenando-se as colunas de A.

Quando reordenamos as colunas de A, não mudamos a imagem da matriz – isto é, não mudamos o espaço gerado pelos vetores que estão na coluna.

Ou seja, se antes tínhamos uma combinação desses vetores que resultava no vetor b → , depois de trocarmos a ordem das colunas, continuamos a ter essa uma outra combinação única.

Por exemplo, se temos A x → = b → com:

A =   ↑ v ↓ ↑ w ↓

x → = a b

Podemos escrever b → como:

b →   = a ↑ v → ↓ + b ↑ w → ↓

Se trocarmos a ordem das colunas de A, teremos:

A =   ↑ w ↓ ↑ v ↓

E o nosso vetor x → passará a ser:

x → = b a

Para que continuemos a ter o mesmo vetor b → .

Então trocar a ordem das colunas não altera a existência única de solução pro sistema. A afirmação é verdadeira.

Passo 4

Resposta

(c) I é falsa e II é verdadeira.

Exercícios de Livros Relacionados

Prove a parte (a) do Teorema 4.11.3 . [Sugestão: uma reta no plano tem uma equação da forma A x +B y +C=0 , com A e B não ambos zeros. Use o método do Exemplo 6 para mostrar que a imagem dessa reta pe
Esboce a imagem do quadrado de vértices ( 0 ,0 ) ,( 1 ,0 ) ,( 1 ,2 ) e ( 0 ,2 ) pela multiplicação por:pela reflexão no eixo x.
Encontre a equação da imagem da reta y=- 4 x+3 pela multiplicação por: A = 4 - 3 3 - 2
Esboce a imagem do quadrado de vértices ( 0 ,0 ) ,( 1 ,0 ) ,( 1 ,2 ) e ( 0 ,2 ) pela multiplicação por:pela reflexão no eixo y .
Esboce a imagem do quadrado de vértices ( 0 ,0 ) ,( 1 ,0 ) ,( 1 ,2 ) e ( 0 ,2 ) pela multiplicação por:pela expansão na direção x de fator k = 2 .