Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

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Enunciado

Assinale o polinômio característico da matriz A.

(a) λ 2 - 2 λ - 1 λ 2 - 1

(b) λ 2 - λ - 2 λ 2 - 1

(c) λ 2 - λ - 2 λ 2 + 1

(d) λ 2 - 2 λ - 1 λ 2 + 1

Passo 1

O polinômio característico é aquele cara que achamos quando fazemos:

det ⁡ A - λ I = 0

Vamos começar achando quem é essa matriz A - λ I e depois calculamos o determinante dela.

Temos:

Beleza, agora precisamos achar o determinante dessa matriz!

Passo 2

Uma forma esperta de calcular o determinante de matrizes de dimensão maior que 3 é usando o escalonamento.

Quando temos uma matriz triangular, o determinante dela é o produto dos elementos da diagonal principal. E quando escalonamos uma matriz, obtemos uma matriz triangular superior!

Mas temos que tomar cuidado com algumas coisinhas:

  • Quando você troca linhas ou colunas, o sinal do determinante muda;
  • Quando você multiplica uma linha por um escalar, o determinante fica multiplicado por esse escalar;
  • Se você troca uma linha/coluna pela soma dessa linha/coluna com um múltiplo de uma outra, o determinante não se altera.

Então vamos escalonar a matriz que achamos antes pra achar o determinante!

Passo 3

Escalonando:

L 2 ← L 2 - 1 1 - λ L 1

L 4 ← L 4 + 1 λ L 3

Agora temos uma matriz triangular superior, e para obtê-la só fizemos operações que não alteram o determinante da matriz inicial!

Logo:

det ⁡ A - λ I = det ⁡ U

det ⁡ A - λ I = 1 - λ - λ - 2 1 - λ - λ - λ + 1 λ

Mas queremos que:

det ⁡ A - λ I = 0

Logo:

1 - λ - λ - 2 1 - λ - λ - λ + 1 λ = 0

1 - λ λ 2 - λ - 2 1 - λ - λ 1 - λ 2 λ = 0

Simplificando:

( λ 2 - λ - 2 ) [ - ( 1 - λ 2 ) ] = 0

λ 2 - λ - 2 λ 2 - 1 = 0

Resposta

(b) λ 2 - λ - 2 λ 2 - 1

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