Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

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Enunciado

Considere

A = 1 0 0 2 0 0 1 3 0 ; e 2 ^ = 0 1 0

Marque a alternativa VERDADEIRA:

a   A possui três autovalores distintos

b   A é invertível

c   O núcleo de A tem dimensão 2

d   O sistema A x → = e 2 ^ não possui solução

Passo 1

Os autovalores λ de A são tais que:

1 - λ 0 0 2 0 - λ 0 1 3 0 - λ = 0

Como A é triangular:

1 - λ 0 - λ 0 - λ = 0

Os autovalores são 1 ,   0 e 0 .

Logo não são três distintos. A ( a ) é falsa.

Passo 2

A 3 ª coluna de A é o vetor nulo, por isso suas colunas são L D .

Matrizes L D ’ s não são invertíveis.

Logo a ( b ) é falsa.

Passo 3

Para descobrir o núcleo, vamos escalonar a matriz aumentada do sistema homogêneo:

1 0 0 0 2 0 0 0 1 3 0 0 ~ ⏟ linhas múltiplas 1 0 0 0 1 3 0 0 ~ ⏟ L 1 ↔ L 2 1 3 0 0 1 0 0 0 ~ ⏟ L 2 ← L 1 - L 2 1 3 0 0 0 3 0 0

Temos dois pivôs, portanto 2 variáveis dependentes e 1 livre.

A dimensão do núcleo é o número de variáveis livres. Logo dim ⁡ N u c A = 1 .

A ( c ) é falsa.

Passo 4

Substituindo na primeira linha do sistema A x → = e 2 ^ :

1 x + 0 y + 0 z = 0 → x = 0

Na segunda linha:

2 x + 0 y + 0 z = 1 → x = 1 2

Afinal, x = 0 ou x = 1 2 ?

Como temos uma contradição no valor de x , o sistema não pode ter solução e a letra ( d ) é verdadeira.

Resposta

Letra ( d )

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