Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

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Enunciado

Sabendo que os autovalores da transformação associada à matriz A = 2 1 0 - 1 0 0 - 1 1 2 são λ 1 = 1 e λ 2 = 2 , então as dimensões de seus autoespaços, V λ 1 e V λ 2 , são respectivamente:

a   2 e 2

b   1 e 2

c   2 e 1

d   1 e 1

Passo 1

Não temos muito que fazer aqui, vamos achar os autoespaços de cada autovalor:

λ = 1 :

2 - 1 1 0 - 1 0 - 1 0 - 1 1 2 - 1 0 0 0 = 1 1 0 - 1 - 1 0 - 1 1 1 0 0 0 ~ - 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

Se não ficou claro, ali em cima eu troquei algumas linhas de lugar e descartei a linha repetida. Temos então o sistema:

- x + y + z = 0 x + y = 0       I I I

De I I :

x = - y

Substituindo em I :

2 y + z = 0

z = - 2 y

Então nosso autoespaço tem essa forma:

- y , y , - 2 y = y - 1,1 , - 2

Dimensão 1 .

Passo 2

Agora pra λ = 2 :

2 - 2 1 0 - 1 0 - 2 0 - 1 1 2 - 2 0 0 0 = 0 1 0 - 1 - 2 0 - 1 1 0 0 0 0 ~ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

Usando a primeira linha pra zerar as segundas coordenadas dos outros vetores você vai chegar naquela mátria lá. O sistema fica:

x = 0 y = 0

Então nosso autoespaço é assim:

0,0 , z = z 0,0 , 1

Ou seja, também tem dimensão 1 .

Resposta

Letra ( d )

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