Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

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Enunciado

Seja A uma matriz 2 × 2 .

Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

a   A pode ter apenas um autovetor

b   A sempre possui dois autovetores linearmente independentes

c   A sempre possui dois autovetores

d   A pode não ter autovetores

Passo 1

a   Lembra que quando achamos um autovetor na verdade achamos um autoespaço? Porque todos os múltiplos do vetor também são autovetores! Então a a não pode ser!

Repare que se a b for verdadeira a c também será! Se A sempre tiver dois autovetores linearmente independentes ela sempre terá dois autovetores haha. Como não podemos ter duas certas a b não pode ser!

Sobraram a c e a d . Bom, a verdadeira é a d . Para que tenha autovetores, o sistema det ⁡ A - λ I = 0 deve ter raízes. Se ele não tiver, não há autovetores.

Vamos parar de pensar nisso matematicamente um pouco. Autovetores são direções preservadas pela matriz certo?? Então se pegarmos a matriz que representa a rotação de 90 ° no R 2 por exemplo. Nenhuma direção é preservada concorda? Então ela não terá autovetores! Essa é a certa.

Resposta

Letra ( d )

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Determinar valores próprios do operador linear T : V → V do R 4 que é definido em uma base { e 1 ,..., e n } por T e i = λ i ∈ R .
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Calcular o polinômio característico e os valores próprios da matriz: 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 - 2 4
Seja 1 1 0 1 a matriz de um operador do R 2 . Ache os valores próprios de T . Existem, neste caso, dois vetores próprios linearmente independentes?
Provar que se λ é valor próprio de T, então λ n é valor próprio de T n . Generalizando, se p(t) é um polinômio então p ( λ ) é valor próprio de p(T), onde p T =a 0 1+ a 1 T+ . . .+a n T n se p ( t )=a