Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

Ver Teoria

Enunciado

Seja A   uma matriz 2 × 2 . Assinale a alternativa FALSA:

( a ) A pode não possuir autovetores

( b ) Se det ⁡ A < 0 então os autovalores de A podem ser 0 e 2

( c ) A pode ter apenas o autovalor 1 e não ser a matriz identidade

( d ) Se det ⁡ A = 0 então 0 é autovalor

Passo 1

a   Ao invés de pensar matematicamente vamos pensar no significado de autovetores. Eles são direções preservadas pela matriz certo? Então é só acharmos uma matriz que não preserve nenhuma direção. Por exemplo, uma rotação de 90 ° no R 2 .

Passo 2

Bom, vamos ver a letra ( b ) .

Olha, se det ⁡ A < 0 , então particularmente det ⁡ A ≠ 0 , certo?

E se det ⁡ A ≠ 0 , então det ⁡ A - 0 I ≠ 0 , e por causa disso 0 não é um autovalor.

Então a ( b ) é falsa.

Passo 3

c   Para uma matriz ter apenas um autovalor igual a 1 , basta que seu polinômio característico seja 1 - λ 2 .

Mas não é apenas a matriz identidade que possui essa característica!

Por exemplo, a seguinte matriz também possui essa característica:

1 0 1 1

Essa é verdadeira, então.

Passo 4

d   Se det ⁡ A = 0 então det ⁡ A - 0 I = 0 , então por isso λ = 0 é autovalor. Verdadeira. ;)

Resposta

Letra ( b )

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar valores próprios do operador linear T : V → V do R 4 que é definido em uma base { e 1 ,..., e n } por T e i = λ i ∈ R .
Achar os valores e os vetores próprios do operador T do IR 2 dado por:T(x, y) = (x + y, x - y);
Calcular o polinômio característico e os valores próprios da matriz: 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 - 2 4
Seja 1 1 0 1 a matriz de um operador do R 2 . Ache os valores próprios de T . Existem, neste caso, dois vetores próprios linearmente independentes?
Provar que se λ é valor próprio de T, então λ n é valor próprio de T n . Generalizando, se p(t) é um polinômio então p ( λ ) é valor próprio de p(T), onde p T =a 0 1+ a 1 T+ . . .+a n T n se p ( t )=a