Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

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Enunciado

Assinale a soma dos módulos das componentes de um autovetor unitário associado ao menor autovalor da matriz:

- 1 1 - 6 4

( a ) 3 5

( b ) 2

( c ) 1

( d ) 4 10

Passo 1

Vamos achar os autovalores da matriz:

p λ = det ⁡ A - I λ = - 1 - λ 1 - 6 4 - λ

p λ = - 1 - λ 4 - λ + 6

p λ = - 4 - 4 λ + λ + λ 2 + 6 = λ 2 - 3 λ + 2

Calculando as raízes, temos que λ 1 = 2 e λ 2 = 1

Logo, o menor autovalor da matriz vai ser λ 2 = 1 !

Passo 2

Vamos calcular o autovetor:

- 1 1 - 6 4 x y = 1 x y

- x + y = x - 6 x + 4 y = y ⟶ - 2 x + y = 0 ⟹ y = 2 x - 6 x + 3 y = 0

x , y = x , 2 x = x ( 1,2 )

Passo 3

Agora é só achar o unitário na direção desse vetor o normalizando:

1,2 1 2 + 2 2 = 1,2 5

E somando as componentes:

1 5 + 2 5 = 3 5

Resposta

a

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