Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

Ver Teoria

Enunciado

Uma matriz 3 × 3 é conhecida parcialmente (apenas algumas de suas entradas):

A = 1   8 2 8     12  

Se D i m N A = 2 , assinale um autovalor de A :

a   11

b   45

c   25

d   33

Passo 1

Beleza, presta atenção que essa questão tem um pulo do gato pra resolver. Se uma matriz é 3 × 3 então, pelo T N I :

dim ⁡ N u c A + dim ⁡ I m A = 3

Mas ele também deu a dimensão do núcleo:

2 + dim ⁡ I m A = 3

dim ⁡ I m A = 1

Beleza, temos a dimensão da imagem. Mas o que é a imagem? É o espaço gerado pelas colunas da matriz! E a dimensão da imagem é justamente o número de colunas L I da matriz!

Mas como nossa imagem tem dimensão 1 , então só podemos ter uma coluna L I . Ou seja, as 3 colunas são múltiplas uma das outras! Sabendo disso podemos completar nossa matriz:

1 4 8 2 8 16 3 12 24

Passo 2

Agora podemos achar os autovalores! Só que não, você vai perder muito tempo nisso! É aqui que entra o segundo pulo do gato haha. Sabemos que como a dimensão do núcleo é 2 , a matriz tem um autoespaço de dimensão 2 associado ao autovalor 0 correto?

Logo, se pegarmos o polinômio característico da matriz, o 0 será raiz “duas vezes”. Ou seja, ele é um autovalor com multiplicidade 2 ! Isso quer dizer que só temos espaço para mais um autovalor que deve estar entre as opções (já que nossa matriz é 3 × 3 só pode ter 3 autovalores)!

Ta, e aonde você quer chegar com isso? Bom, sabemos que o traço da matriz é a soma de seus autovalores, então:

T r A = λ 1 + λ 2 + λ 3

1 + 8 + 24 = 0 + 0 + λ 3

λ 3 = 33

E com isso, achamos a resposta sem conta nenhuma haha, muito bom né?

Resposta

Letra d

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar valores próprios do operador linear T : V → V do R 4 que é definido em uma base { e 1 ,..., e n } por T e i = λ i ∈ R .
Achar os valores e os vetores próprios do operador T do IR 2 dado por:T(x, y) = (x + y, x - y);
Calcular o polinômio característico e os valores próprios da matriz: 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 - 2 4
Seja 1 1 0 1 a matriz de um operador do R 2 . Ache os valores próprios de T . Existem, neste caso, dois vetores próprios linearmente independentes?
Provar que se λ é valor próprio de T, então λ n é valor próprio de T n . Generalizando, se p(t) é um polinômio então p ( λ ) é valor próprio de p(T), onde p T =a 0 1+ a 1 T+ . . .+a n T n se p ( t )=a