Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

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Enunciado

Seja A = 3 0 0 - 3 4 9 0 0 3

(a) Determine a equação característica e os autovalores de A

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Essa questão dá pra gente uma matriz 3x3 e pede duas coisas: a equação característica e os autovalores.

Pra encontrar a equação característica de uma matriz A , a gente usa essa equação aqui

det ⁡ A - λ I = 0

A gente escreve A - λ I em forma matricial, calcula o determinante e iguala a zero!

E esse λ que aparece ali são justamente os autovalores que a gente também quer encontrar. E eles são a solução da equação característica.

Para a resolução dessa questão, temos que seguir um caminho onde primeiro vamos encontrar a equação característica da matriz A e a partir daí, vamos calcular os autovalores λ .

Com isso podemos ter a ideia que essa questão não será tão trabalhosa, então bora lá! 😉

Passo 2

Primeiro, calculando a equação característica de A

det ⁡ A - λ I = 0

Na forma matricial fica como

3 0 0 - 3 4 9 0 0 3 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ = 0

3 - λ 0 0 - 3 4 - λ 9 0 0 3 - λ = 0

Resolvendo o determinante dessa matriz e igualando a zero, temos

3 - λ 4 - λ 3 - λ + 0 + 0 - 0 + 0 + 0 = 0

3 - λ 4 - λ 3 - λ = 0

12 - 7 λ + λ 2 3 - λ = 0

36 - 12 λ - 21 λ + 7 λ 2 + 3 λ 2 - λ 3 = 0

- λ 3 + 10 λ 2 - 33 λ + 36 = 0

Esta é a equação característica da matriz A .

Até então está tudo tranquilo? Bora continuar.

Passo 3

Para calcular os autovalores de A , vamos calcular a solução da equação característica que acabamos de encontrar. - λ 3 + 10 λ 2 - 33 λ + 36 = 0

Retrocedendo a equação até o início do cálculo no passo anterior, vamos encontrar algo interessante

3 - λ 4 - λ 3 - λ = 0

4 - λ 3 - λ 2 = 0

Vemos que pra essa igualdade ser satisfeita, um dos parênteses tem que ser zero, ou seja, ganhamos a solução de bandeja já que

1° caso: 3 - λ = 0 → λ = 3

2° caso: 4 - λ = 0 → λ = 4

Portanto, nossos autovalores que procuramos são

λ 1 = 3 e λ 2 = 4

Eu disse que não seria tão trabalhosa, é isso! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Equação característica: - λ 3 + 10 λ 2 - 33 λ + 36 = 0

Autovalores: λ 1 = 3 e λ 2 = 4 .

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